Доверительный интервал для доли

К 3 августа, 2023 Статистика 0 комментариев

В этой статье объясняется, что такое доверительный интервал для пропорции и для чего он используется в статистике. Кроме того, вы узнаете, как рассчитать доверительный интервал пропорции, а также решите упражнение, чтобы лучше понять эту концепцию.

Каков доверительный интервал пропорции?

Доверительный интервал доли — это интервал, который обеспечивает диапазон допустимых значений доли популяции. То есть доверительный интервал для доли указывает максимальное значение и минимальное значение, между которыми доля населения находится с погрешностью.

Например, если доверительный интервал для доли населения с уровнем достоверности 95% равен (0,73, 0,81), это означает, что доля населения находится между 73% и 81% с вероятностью 95%.

Поэтому доверительный интервал доли используется для оценки значения доли популяции, соответствующей определенным характеристикам.

Как мы увидим в следующем разделе, доверительный интервал для доли зависит от доли выборки и количества наблюдений в выборке.

Формула доверительного интервала для доли

Доверительный интервал для доли рассчитывается путем сложения и вычитания из выборочной доли значения Z α/2 , умноженного на квадратный корень из выборочной доли (p), умноженного на 1-p и разделенного на размер выборки (n). Следовательно, формула расчета доверительного интервала для доли имеет вид:

\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)

Золото:

  • p

    – это доля выборки.

  • n

    это размер выборки.

  • Z_{\alpha/2}

    — квантиль стандартного нормального распределения, соответствующий вероятности α/2. Для больших размеров выборки и уровня достоверности 95% оно обычно близко к 1,96, а для уровня достоверности 99% оно обычно близко к 2,576.

Пример расчета доверительного интервала для доли

Чтобы вы могли увидеть, как рассчитывается доверительный интервал для пропорции, мы оставляем вам пошаговый конкретный пример.

  • Страховая компания хочет провести исследование рынка и определить, сколько людей в стране имеют страхование жизни. Для этого анализируется случайная выборка из 700 человек и приходим к выводу, что 40% выборки имеют страхование жизни. Каков доверительный интервал при доверительном уровне 95% для доли населения страны?

Чтобы определить доверительный интервал доли населения, нам нужно использовать формулу, которую мы видели выше:

\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)

В этом случае мы хотим, чтобы уровень достоверности доверительного интервала составлял 95%, поэтому значение Z α/2 , которое нам нужно принять, равно 1,96.

1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025

\begin{array}{c}Z_{\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]Z_{0,025}=1,96\end{array}

В постановке задачи уже сказано, что размер выборки равен n=700 и наблюдаемая доля в выборке равна p=0,40, поэтому подставляем данные в формулу доверительного интервала для доли и вычисляем пределы интервала:

\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)

\displaystyle \left(0,40-1,96\cdot \sqrt{\frac{0,40\cdot (1-0,40)}{700}}\ , \ 0,40+1,96\cdot \sqrt{\frac{0,40\cdot (1-0,40)}{700}\right)

\displaystyle \left(0,36 \ , \ 0,44\right)

В заключение следует отметить, что доля изученной популяции составляет от 36% до 44% с уровнем достоверности 95%.

Об авторе

Dr. Benjamin Anderson
бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *