Доверительный интервал для среднего значения

К бенджамин андерсон 3 августа, 2023 Статистика 0 комментариев

В этой статье объясняется, что такое доверительный интервал для среднего значения в статистике и для чего он используется. Кроме того, вы узнаете, как рассчитать доверительный интервал среднего значения, а также пошаговое упражнение.

Каков доверительный интервал среднего?

Доверительный интервал для среднего значения — это интервал, который обеспечивает диапазон допустимых значений среднего значения совокупности. Другими словами, доверительный интервал для среднего значения дает нам максимальное значение и минимальное значение, между которыми связывается значение среднего значения совокупности с погрешностью.

Например, если 95% доверительный интервал для среднего значения генеральной совокупности равен (6,10), это означает, что в 95% случаев среднее значение генеральной совокупности будет находиться в диапазоне от 6 до 10.

Таким образом, доверительный интервал среднего используется для оценки двух значений, между которыми находится среднее значение совокупности. Таким образом, доверительный интервал среднего очень полезен для аппроксимации среднего значения популяции, когда все ее значения неизвестны.

Формула доверительного интервала для среднего значения

Предположим, что процесс ввода переменной выглядит следующим образом:

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

Доверительный интервал для среднего значения рассчитывается путем сложения и вычитания из выборочного среднего значения Z _α/2 , умноженного на стандартное отклонение (σ) и деленного на квадратный корень из размера выборки (n). Следовательно, формула для расчета доверительного интервала среднего такова:

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

Для больших размеров выборки и уровня достоверности 95 % критическое значение составляет Z _α/2 = 1,96, а для уровня достоверности 99 % критическое значение составляет Z _α/2 = 2,576.

Приведенная выше формула используется, когда известна дисперсия генеральной совокупности. Однако если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, что происходит чаще всего, доверительный интервал среднего значения рассчитывается по следующей формуле:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

Золото:

$\overline{x}$

это образец означает.
$t_{\alpha/2}$

— значение t-распределения Стьюдента n-1 степеней свободы с вероятностью α/2.
$s$

— выборочное стандартное отклонение.
$n$

это размер выборки.

Пример расчета доверительного интервала для среднего значения

Чтобы вы могли увидеть, как рассчитывается доверительный интервал для среднего значения совокупности, мы оставляем вам ниже пример, решаемый шаг за шагом.

У нас есть выборка из 8 наблюдений со значениями, показанными ниже. Каков доверительный интервал генеральной совокупности при доверительном уровне 95%?

206 203 201 212
194 176 208 201

Как мы видели в предыдущем разделе, формула для получения доверительного интервала среднего значения генеральной совокупности, когда мы не знаем стандартное отклонение генеральной совокупности, выглядит следующим образом:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

Итак, чтобы определить доверительный интервал среднего значения, мы должны сначала рассчитать выборочное среднее и стандартное отклонение.

$\begin{array}{c}\mu =200,13 \\[4ex]s=11,13\end{array}$

➤ См. « Калькулятор среднего арифметического».
➤ См.: Калькулятор стандартного отклонения.

Поскольку мы хотим найти доверительный интервал с уровнем достоверности 1-α=95% и размером выборки 8, нам нужно получить доступ к таблице распределения Стьюдента и посмотреть, какое значение соответствует t _0,025|7 .

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n-1}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025| 7}=2,365\end{array}$

➤ См.: Значения таблицы распределения Стьюдента.

Поэтому мы применяем формулу доверительного интервала для среднего значения и выполняем вычисления, чтобы найти пределы интервала:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

$\displaystyle \left(200,13-2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \ , \ 200,13+2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \right)$

$\displaystyle \left(190,82 \ , \ 209,43 \right)$

В заключение, рассчитанный доверительный интервал говорит нам, что при уровне достоверности 95% среднее значение генеральной совокупности будет находиться в диапазоне от 190,82 до 209,43.

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше

Каков доверительный интервал среднего?

Формула доверительного интервала для среднего значения

Пример расчета доверительного интервала для среднего значения

Об авторе

бенджамин андерсон

Добавить комментарий