Интервал оценки

К бенджамин андерсон 3 августа, 2023 Статистика 0 комментариев

В этой статье объясняется, что такое интервальная оценка в статистике. Вы также узнаете, как выполняется интервальная оценка и, наконец, чем интервальная оценка отличается от точечной.

Что такое интервальная оценка?

В статистике интервальная оценка — это процесс, в котором значение параметра совокупности оценивается с использованием интервала. Точнее, интервальная оценка предполагает вычисление интервала, в котором значение параметра с наибольшей вероятностью будет найдено с определенной степенью достоверности .

Например, если при интервальной оценке мы придем к выводу, что доверительный интервал для среднего значения совокупности равен (3,7) с уровнем достоверности 95%, это означает, что среднее значение изучаемой совокупности будет находиться в диапазоне от 3 до 7 с вероятность 95%.

В общем, размер популяции слишком велик, чтобы изучить всех ее особей, поэтому значение ее статистических измерений не может быть известно с уверенностью, а скорее приблизительно.

Таким образом, интервальная оценка используется для обеспечения на основе выборочных данных аппроксимации диапазона значений, между которыми находится параметр совокупности. Таким образом, значение параметра совокупности можно оценить на основе данных, изученных на основе выборки.

Наконец, чтобы полностью понять значение интервальной оценки, вам необходимо четко понимать концепцию доверительного интервала. Доверительный интервал — это интервал, который обеспечивает с погрешностью аппроксимацию значений, между которыми находится значение параметра совокупности. Следовательно, доверительный интервал — это результат, полученный на основе интервальной оценки.

➤ См.: Что такое доверительный интервал?

Формулы интервальной оценки

Ниже вы найдете различные формулы для оценки доверительных интервалов, поскольку в зависимости от того, хотите ли вы оценить доверительный интервал для среднего значения, дисперсии или доли, используемая формула будет разной.

Доверительный интервал для среднего значения

Предположим, что процесс ввода переменной выглядит следующим образом:

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

Доверительный интервал для среднего значения рассчитывается путем сложения и вычитания из выборочного среднего значения Z _α/2 , умноженного на стандартное отклонение (σ) и деленного на квадратный корень из размера выборки (n). Следовательно, формула для расчета доверительного интервала среднего такова:

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

Для больших размеров выборки и уровня достоверности 95 % критическое значение составляет Z _α/2 = 1,96, а для уровня достоверности 99 % критическое значение составляет Z _α/2 = 2,576.

Приведенная выше формула используется, когда известна дисперсия генеральной совокупности. Однако если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, что является наиболее распространенным случаем, доверительный интервал для среднего значения рассчитывается по следующей формуле:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

Золото:

$\overline{x}$

это образец означает.
$t_{\alpha/2}$

— значение t-распределения Стьюдента n-1 степеней свободы с вероятностью α/2.
$s$

— выборочное стандартное отклонение.
$n$

это размер выборки.

➤ См.: Практический пример расчета доверительного интервала для среднего значения.

Доверительный интервал для дисперсии

Для расчета доверительного интервала дисперсии совокупности используется распределение хи-квадрат. Более конкретно, формула для расчета доверительного интервала дисперсии :

$\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)$

Золото:

$n$

это размер выборки.
$s$

— выборочное стандартное отклонение.
$\chi_{n-1;\alpha/2}$

— значение распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы для вероятности меньше α/2.
$\chi_{n-1;1-\alpha/2}$

— это значение распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы для вероятности, большей 1-α/2.

➤ См.: Практический пример расчета доверительного интервала дисперсии.

Доверительный интервал для доли

Доверительный интервал для доли рассчитывается путем сложения и вычитания из выборочной доли значения Z _α/2 , умноженного на квадратный корень из выборочной доли (p), умноженного на 1-p и разделенного на размер выборки (n). Следовательно, формула расчета доверительного интервала для доли имеет вид:

$\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)$

Золото:

$p$

– это доля выборки.
$n$

это размер выборки.
$Z_{\alpha/2}$

— квантиль стандартного нормального распределения, соответствующий вероятности α/2. Для больших размеров выборки и уровня достоверности 95% оно обычно близко к 1,96, а для уровня достоверности 99% оно обычно близко к 2,576.

➤ См.: Практический пример расчета доверительного интервала для доли

Интервальная оценка и точечная оценка

Наконец, мы увидим, каковы различия между интервальной оценкой и точечной оценкой, поскольку значение параметра совокупности можно оценить с использованием интервала (как мы видели на протяжении всей статьи) или с помощью точечного значения.

Разница между интервальной оценкой и точечной оценкой заключается в диапазоне значений, используемых при оценке параметра. При интервальной оценке параметр приближается к доверительному интервалу, тогда как при точечной оценке параметр приближается к определенному значению.

Таким образом, при точечной оценке одно значение, рассчитанное на основе данных выборки, рассматривается как аппроксимация значения параметра совокупности. Например, среднее значение генеральной совокупности можно точно оценить, используя среднее выборочное.

Таким образом, точечная оценка имеет преимущества и недостатки по сравнению с интервальной оценкой, так что каждый тип оценки подходит для использования в конкретной ситуации. Чтобы узнать больше, нажмите на следующую ссылку:

➤ См.: Что такое точечная оценка?

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше

Что такое интервальная оценка?

Формулы интервальной оценки

Доверительный интервал для среднего значения

Доверительный интервал для дисперсии

Доверительный интервал для доли

Интервальная оценка и точечная оценка

Об авторе

бенджамин андерсон

Добавить комментарий