Контраст гипотез

К бенджамин андерсон 3 августа, 2023 Статистика 0 комментариев

В этой статье объясняется, что такое проверка гипотез в статистике. Итак, вы узнаете, как проводить проверку гипотез, различные типы проверок гипотез и возможные ошибки, которые можно допустить при проведении проверки гипотез.

Что такое проверка гипотез?

Проверка гипотезы — это процедура, используемая для отклонения или отклонения статистической гипотезы. При проверке гипотезы мы оцениваем, совместимо ли значение параметра популяции с тем, что наблюдается в выборке указанной популяции.

То есть при проверке гипотезы анализируется статистическая выборка и на основании полученных результатов определяется, следует ли отвергнуть или принять ранее установленную гипотезу.

Имейте в виду, что, как правило, в результате проверки гипотезы нельзя с полной уверенностью сделать вывод об истинности или ложности гипотезы, а можно просто отвергнуть гипотезу или нет на основании полученных результатов. Итак, при проверке гипотезы все равно может быть допущена ошибка, даже если есть статистические данные о том, что принятое решение является наиболее вероятным.

В статистике проверку гипотезы также называют проверкой гипотезы , проверкой гипотезы или проверкой значимости .

Теория проверки гипотез была разработана английским статистиком Рональдом Фишером и получила дальнейшее развитие Ежи Нейманом и Эгоном Пирсоном.

Нулевая гипотеза и альтернативная гипотеза

Проверка гипотезы состоит из двух типов статистических гипотез:

Нулевая гипотеза (H ₀ ) : это гипотеза, которая утверждает, что исходная гипотеза, которую мы имеем относительно параметра популяции, является ложной. Таким образом, нулевая гипотеза — это гипотеза, которую мы хотим отвергнуть.
Альтернативная гипотеза (H ₁ ) : исследовательская гипотеза, истинность которой предполагается доказать. То есть альтернативная гипотеза является априорной гипотезой исследователя, и чтобы попытаться доказать ее истинность, будет реализована контрастная гипотеза.

На практике альтернативная гипотеза формулируется перед нулевой гипотезой, поскольку именно гипотеза должна быть подтверждена статистическим анализом выборки данных. Затем нулевая гипотеза формулируется просто путем противоречия альтернативной гипотезе.

Виды проверки гипотез

Проверка гипотез может быть разделена на два типа:

Двусторонняя проверка гипотез (или двусторонняя проверка гипотез) . Альтернативная гипотеза проверки гипотез утверждает, что параметр совокупности «отличен» от определенного значения.
Односторонняя проверка гипотез (или односторонняя проверка гипотез) . Альтернативная гипотеза проверки гипотез указывает на то, что параметр совокупности «больше» (правый хвост) или «меньше» (левый хвост) определенного значения.

Проверка двусторонней гипотезы

$\begin{cases}H_0: \mu=\mu_0\\[2ex]H_1:\mu\neq\mu_0\end{cases}$

Проверка односторонней гипотезы (правый хвост)

$\begin{cases}H_0: \mu\leq \mu_0\\[2ex]H_1:\mu>\mu_0\end{cases}» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»65″ width=»102″ style=»vertical-align: 0px;»></p> </p> </div> <div class=$

Проверка односторонней гипотезы (левый хвост)

$\begin{cases}H_0: \mu\geq\mu_0\\[2ex]H_1:\mu<\mu_0\end{cases}$

Область отклонения и область принятия проверки гипотезы

Как мы увидим подробно ниже, проверка гипотез состоит из расчета характеристического значения каждого типа проверки гипотезы, это значение называется статистикой проверки гипотез. Таким образом, после расчета статистики контрастности необходимо наблюдать, в какой из следующих двух областей она расположена, чтобы прийти к выводу:

Область отклонения (или критическая область) : это область графика эталонного распределения проверки гипотезы, которая предполагает отклонение нулевой гипотезы (и принятие альтернативной гипотезы).
Область принятия : это область графика эталонного распределения проверки гипотез, которая подразумевает принятие нулевой гипотезы (и отклонение альтернативной гипотезы).

Короче говоря, если статистика теста попадает в зону отклонения, нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная гипотеза. Напротив, если статистика теста попадает в область приемлемости, нулевая гипотеза принимается, а альтернативная гипотеза отклоняется.

Значения, устанавливающие границы области отклонения и области принятия, называются критическими значениями , аналогично интервал значений, определяющий область отклонения, называется доверительным интервалом . И оба значения зависят от выбранного уровня значимости .

➤ См. «Уровень значимости альфа».

С другой стороны, решение об отклонении или принятии нулевой гипотезы также может быть принято путем сравнения значения p (или значения p), полученного в результате проверки гипотезы, с выбранным уровнем значимости.

➤ См.: Что такое значение p?

Как провести проверку гипотезы

Для проверки гипотезы необходимо выполнить следующие шаги:

Сформулируйте нулевую гипотезу и альтернативную гипотезу проверки гипотезы.
Установите желаемый уровень значимости альфа (α).
Рассчитайте статистику контраста гипотез.
Определяет критические значения проверки гипотезы, чтобы узнать область отклонения и область принятия проверки гипотезы.
Обратите внимание, находится ли статистика контраста гипотез в области отклонения или в области принятия.
Если статистика попадает в область отклонения, нулевая гипотеза отклоняется (и принимается альтернативная гипотеза). Но если статистика попадает в зону принятия, нулевая гипотеза принимается (а альтернативная гипотеза отклоняется).

➤ См.: Проверка гипотезы для среднего значения.
➤ См.: Проверка гипотезы на пропорцию
➤ См.: Проверка гипотез на дисперсию.

Ошибки проверки гипотез

При проверке гипотез при отклонении одной гипотезы и принятии другой тестовой гипотезы может быть допущена одна из двух ошибок:

Ошибка типа I : это ошибка, возникающая при отклонении нулевой гипотезы, хотя она на самом деле верна.
Ошибка типа II : это ошибка, возникающая в результате принятия нулевой гипотезы, хотя на самом деле она ложна.

С другой стороны, вероятность совершения каждого типа ошибки называется следующим образом:

Альфа-вероятность (α) : вероятность совершения ошибки I рода.
Бета-вероятность (β) : вероятность совершения ошибки второго рода.

Аналогичным образом, мощность проверки гипотез определяется как вероятность отклонения нулевой гипотезы (H ₀ ), когда она ложна, или, другими словами, это вероятность выбора альтернативной гипотезы (H ₁ ), когда она верна. Таким образом, мощность проверки гипотезы равна 1-β.

Статистика проверки гипотез

Статистика проверки гипотезы — это значение эталонного распределения проверки гипотезы, которое используется для определения того, отклонена ли нулевая гипотеза или нет. Если статистика теста попадает в область отклонения, нулевая гипотеза отклоняется (а альтернативная гипотеза принимается), с другой стороны, если статистика теста попадает в область принятия, нулевая гипотеза принимается (а альтернативная гипотеза принимается). отклонено).альтернативная гипотеза).

Расчет статистики проверки гипотезы зависит от типа теста. Поэтому формула расчета статистики для каждого типа проверки гипотез приведена ниже.

Проверка гипотезы на среднее значение

Формула статистики проверки гипотезы для среднего значения с известной дисперсией :

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Золото:

$Z$

— это статистика контраста гипотез для среднего значения.
$\overline{x}$

это образец означает.
$\mu$

— предложенное среднее значение.
$\sigma$

— стандартное отклонение генеральной совокупности.
$n$

это размер выборки.

После того, как статистика проверки гипотезы для среднего рассчитана, результат необходимо интерпретировать, чтобы отклонить нулевую гипотезу или нет:

Если проверка гипотезы о среднем является двусторонней, нулевая гипотеза отклоняется, если абсолютное значение статистики превышает критическое значение Z _α/2 .
Если проверка гипотезы для среднего значения соответствует правому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика превышает критическое значение Z _α .
Если проверка гипотезы для среднего значения соответствует левому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика меньше критического значения -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

В этом случае критические значения получаются из таблицы стандартизированного нормального распределения.

С другой стороны, формула статистики проверки гипотезы для среднего с неизвестной дисперсией :

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

Золото:

$t$

— это статистика проверки гипотезы для среднего значения, которое определяется t-распределением Стьюдента.
$\overline{x}$

это образец означает.
$\mu$

— предложенное среднее значение.
$s$

— выборочное стандартное отклонение.
$n$

это размер выборки.

Как и раньше, вычисленный результат тестовой статистики необходимо интерпретировать с критическим значением, чтобы отвергнуть или не отвергнуть нулевую гипотезу:

Если проверка гипотезы о среднем является двусторонней, нулевая гипотеза отклоняется, если абсолютное значение статистики больше критического значения t _α/2|n-1 .
Если проверка гипотезы для среднего значения соответствует правому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика больше критического значения t _α|n-1 .
Если проверка гипотезы для среднего значения соответствует левому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика меньше критического значения -t _α|n-1 .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Когда дисперсия неизвестна, критические значения теста получают из таблицы распределения Стьюдента.

Проверка гипотезы на пропорцию

Формула для статистики проверки гипотезы для пропорции :

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

Золото:

$Z$

— статистика проверки гипотезы для пропорции.
$\widehat{p}$

– это доля выборки.
$p$

— предлагаемое значение пропорции.
$n$

это размер выборки.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

– стандартное отклонение пропорции.

Имейте в виду, что недостаточно вычислить статистику проверки гипотезы для пропорции, но затем необходимо интерпретировать результат:

Если проверка гипотезы для доли является двусторонней, нулевая гипотеза отклоняется, если абсолютное значение статистики превышает критическое значение Z _α/2 .
Если проверка гипотезы для доли соответствует правому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика превышает критическое значение Z _α .
Если проверка гипотезы для доли соответствует левому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика меньше критического значения -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Помните, что критические значения можно легко получить из стандартной таблицы нормального распределения.

Проверка гипотез на дисперсию

Формула для расчета статистики проверки гипотезы на дисперсию :

$\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

Золото:

$\chi^2$

— это статистика проверки гипотезы на предмет дисперсии, которая имеет распределение хи-квадрат.
$n$

это размер выборки.
$s^2$

— выборочная дисперсия.
$\sigma^2$

— это дисперсия предлагаемой совокупности.

Для интерпретации результата статистики полученное значение необходимо сравнить с критическим значением теста.

Если проверка гипотезы на дисперсию является двусторонней, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика превышает критическое значение.
$\chi_{1-\alpha/2|n-1}^2$

или если критическое значение меньше

$\chi_{\alpha/2|n-1}$

.
Если проверка гипотезы на дисперсию соответствует правому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика превышает критическое значение.
$\chi_{1-\alpha|n-1}^2$

.
Если проверка гипотезы на дисперсию соответствует левому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика меньше критического значения.
$\chi_{\alpha|n-1}$

.

$\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Критические значения проверки гипотезы для дисперсии получаются из таблицы распределения хи-квадрат. Обратите внимание, что степени свободы распределения хи-квадрат равны размеру выборки минус 1.

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше

Что такое проверка гипотез?

Нулевая гипотеза и альтернативная гипотеза

Виды проверки гипотез

Область отклонения и область принятия проверки гипотезы

Как провести проверку гипотезы

Ошибки проверки гипотез

Статистика проверки гипотез

Проверка гипотезы на среднее значение

Проверка гипотезы на пропорцию

Проверка гипотез на дисперсию

Об авторе

бенджамин андерсон

Добавить комментарий