Непересекающиеся или независимые события: в чем разница?

Два термина, которые студенты часто путают, являются непересекающимися и независимыми .

Вот разница в нескольких словах:

Два события называются непересекающимися , если они не могут произойти одновременно.

Два события называются независимыми , если возникновение одного события не влияет на вероятность возникновения другого события.

Следующие примеры иллюстрируют разницу между этими двумя терминами в различных сценариях.

Пример 1. Подбросьте монету.

Сценарий 1: Предположим, мы подбрасываем монету один раз. Если мы определим событие A как падение монеты орлом, а событие B как падение монеты орлом, то события A и B не пересекаются , потому что монета не может упасть орлом на поверхность.

Сценарий 2 : Предположим, мы дважды подбрасываем монету. Если мы определим событие A как выпадение монеты орлом при первом броске, а событие B как выпадение монеты орлом при втором броске, то события A и B независимы , поскольку результат одного розыгрыша не влияет на результат. другого.

Пример 2: бросок кубика

Сценарий 1: Предположим, мы один раз бросаем игральную кость. Если мы позволим событию А быть событием, когда на игральной кости выпало четное число, а событием Б — событием, когда на игральной кости выпало нечетное число, то событие А и событие В не пересекаются , потому что игральные кости не могут выпасть на четное и нечетное число. номер одновременно.

Сценарий 2 : Предположим, мы дважды бросаем игральную кость. Если мы определим событие A как выпадение на кубике «5» при первом броске, а событие B — как выпадение на кубике «5» при втором броске, то событие A и событие B независимы , поскольку результат одного бросок кубика не влияет на результат другого.

Пример 3: Выбор карты

Сценарий 1: Предположим, мы выбираем карту из стандартной колоды из 52 карт. Если мы позволим событию A быть событием, когда карта является Пикой, а событию B — событием, когда карта является Бубной, тогда событие A и событие B не пересекаются , потому что карта не может быть Пикой и Бубной. в то же время.

Сценарий 2 : Предположим, мы выбираем карту из стандартной колоды из 52 карт дважды подряд с заменой. Если мы определим событие A как карту, являющуюся пикой при первом розыгрыше, и мы определим событие B как карту, являющуюся пикой при втором розыгрыше, то событие A и событие B независимы , поскольку результат одного розыгрыша не влияет на результат. другого.

Обозначение вероятности: непересекающиеся события или независимые события.

В вероятностной записи мы говорим, что события A и B не пересекаются , если их пересечение равно нулю. Это можно записать следующим образом:

• Р(А∩В) = 0

Например, предположим, что мы один раз бросаем игральную кость. Пусть событие А — это событие, когда на кубике выпадает четное число, а событие Б — событие, когда на кубике выпадает нечетное число.

Мы бы определили выборочное пространство для событий следующим образом:

• А = {2, 4, 6}
• Б = {1, 3, 5}

Обратите внимание, что между двумя выборочными пространствами нет перекрытия. Таким образом, события A и B являются непересекающимися событиями, поскольку они не могут произойти одновременно.

Итак, мы могли бы написать:

• Р(А∩В) = 0

Аналогичным образом, записывая в вероятностной записи, мы говорим, что события A и B независимы , если верно следующее:

• Р(А∩В) = Р(А) * Р(В)

Например, предположим, что мы дважды бросаем игральную кость. Пусть событием А будет событие, когда на игральной кости при первом броске выпадет цифра «5», а событием В — событие, когда на кубике выпадет цифра «5» при втором броске.

Если мы запишем все 36 возможных способов выпадения кубика, мы обнаружим, что только в одном из 36 сценариев оба раза на кубике выпала цифра «5». Итак, мы бы сказали P(A∩B) = 1/36.

Мы также знаем, что вероятность того, что при первом броске на кубике выпадет цифра «5», равна P(A) = 1/6.

Мы также знаем, что вероятность того, что при втором броске на кубике выпадет цифра «5», равна P(B) = 1/6.

Итак, мы могли бы написать:

• Р(А∩В) = Р(А) * Р(В)
• 1/36 = 1/6 * 1/6
• 1/36 = 1/36

Поскольку это уравнение верно, мы могли бы фактически сказать, что событие A и событие B в этом сценарии независимы .

Дополнительные ресурсы

Следующие учебные пособия содержат дополнительную информацию по различным статистическим терминам:

Что такое непересекающиеся события? (Определение и примеры)
Взаимовключающие или взаимоисключающие события