Непрерывное распределение вероятностей

К бенджамин андерсон 3 августа, 2023 Вероятность 0 комментариев

В этой статье объясняется, что такое непрерывные распределения вероятностей и для чего они используются в статистике. Таким образом, вы узнаете, что означает непрерывность распределения вероятностей, примеры непрерывных распределений и какие существуют типы непрерывных распределений.

Что такое непрерывное распределение вероятностей?

Непрерывное распределение вероятностей — это распределение, функция распределения которого непрерывна. Следовательно, непрерывное распределение вероятностей определяет вероятности непрерывной случайной величины .

Например, нормальное распределение и t-распределение Стьюдента являются непрерывными распределениями вероятностей.

Одной из характеристик непрерывных распределений вероятностей является то, что они могут принимать любое значение в пределах интервала. Таким образом, в отличие от дискретных распределений вероятностей, непрерывные распределения вероятностей могут принимать десятичные значения.

В непрерывных распределениях для расчета кумулятивной вероятности необходимо найти площадь под кривой распределения, поэтому в этом типе распределений вероятностей кумулятивная функция вероятности эквивалентна интегралу функции плотности .

$\displaystyle P[X\leq x]=\int_{-\infty}^x f(x)dx$

Примеры непрерывных распределений вероятностей

Увидев определение непрерывного распределения вероятностей, мы увидим несколько примеров распределения этого типа, чтобы лучше понять эту концепцию.

Примеры непрерывных распределений вероятностей:

Вес студентов на курсе.
Срок службы электрического компонента.
Доходность акций компаний, котирующихся на фондовой бирже.
Скорость автомобиля.
Цена некоторых акций.

Типы непрерывных распределений вероятностей

Основными типами непрерывных распределений вероятностей являются:

Равномерное и непрерывное распределение
Нормальное распределение
Логнормальное распределение
Распределение хи-квадрат
Распределение Стьюдента
Снедекор Ф Дистрибуция
Экспоненциальное распределение
Бета-распределение
Гамма-распределение
Распределение Вейбулла
Распределение Парето

Каждый тип непрерывного распределения вероятностей подробно объясняется ниже.

Равномерное и непрерывное распределение

Непрерывное равномерное распределение , также называемое прямоугольным распределением , представляет собой тип непрерывного распределения вероятностей, в котором все значения имеют одинаковую вероятность появления. Другими словами, непрерывное равномерное распределение — это распределение, в котором вероятность равномерно распределена по интервалу.

Непрерывное равномерное распределение используется для описания непрерывных переменных, имеющих постоянную вероятность. Аналогичным образом, непрерывное равномерное распределение используется для определения случайных процессов, поскольку, если все результаты имеют одинаковую вероятность, это означает, что результат является случайным.

Непрерывное равномерное распределение имеет два характерных параметра a и b , которые определяют интервал равновероятности. Таким образом, символ непрерывного равномерного распределения — U(a,b) , где a и b — характеристические значения распределения.

$X\sim U(a,b)$

Например, если результат случайного эксперимента может принимать любое значение от 5 до 9 и все возможные результаты имеют одинаковую вероятность наступления, эксперимент можно смоделировать с помощью непрерывного равномерного распределения U(5.9).

➤ См.: Свойства непрерывного равномерного распределения.

Нормальное распределение

Нормальное распределение — это непрерывное распределение вероятностей, график которого имеет колоколообразную форму и симметричен относительно своего среднего значения. В статистике нормальное распределение используется для моделирования явлений с очень разными характеристиками, поэтому это распределение так важно.

Фактически, в статистике нормальное распределение считается наиболее важным из всех распределений вероятностей, поскольку оно не только позволяет моделировать большое количество явлений реального мира, но и может использоваться для аппроксимации других типов распределений. распределения. при определенных условиях.

Символом нормального распределения является заглавная буква N. Итак, чтобы указать, что переменная подчиняется нормальному распределению, она обозначается буквой N, а в скобках добавляются значения ее среднего арифметического и стандартного отклонения.

$X\sim N(\mu,\sigma)$

Нормальное распределение имеет много разных названий, включая распределение Гаусса , распределение Гаусса и распределение Лапласа-Гаусса .

➤ См.: Свойства нормального распределения.

Логнормальное распределение

Логнормальное распределение , или логнормальное распределение , — это распределение вероятностей, которое определяет случайную величину, логарифм которой соответствует нормальному распределению.

Следовательно, если переменная X имеет нормальное распределение, то показательная функция ^ex имеет логнормальное распределение.

$X\sim \text{Lognormal}(\mu,\sigma^2)$

Обратите внимание, что логнормальное распределение можно использовать только в том случае, если значения переменной положительны, поскольку логарифм — это функция, принимающая только один положительный аргумент.

Среди различных применений логнормального распределения в статистике мы выделяем использование этого распределения для анализа финансовых вложений и проведения анализа надежности.

Логнормальное распределение также известно как распределение Тинаута , иногда его также называют логнормальным распределением или логнормальным распределением .

➤ См.:Свойства логнормального распределения.

Распределение хи-квадрат

Распределение хи-квадрат — это распределение вероятностей, символ которого — χ². Точнее, распределение хи-квадрат представляет собой сумму квадратов k независимых случайных величин с нормальным распределением.

Таким образом, распределение Хи-квадрат имеет k степеней свободы. Следовательно, распределение хи-квадрат имеет столько степеней свободы, сколько сумма квадратов нормально распределенных переменных, которые оно представляет.

$\displaystyle X\sim\chi^2_k \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \begin{array}{l}\text{Distribuci\'on chi-cuadrado}\\[2ex]\text{con k grados de libertad}\end{array}$

Распределение Хи-квадрат также известно как распределение Пирсона .

Распределение хи-квадрат широко используется в статистических выводах, например, при проверке гипотез и доверительных интервалах. Ниже мы увидим, каковы применения этого типа распределения вероятностей.

➤ См.: Свойства распределения Хи-квадрат.

Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента — это распределение вероятностей, широко используемое в статистике. В частности, t-распределение Стьюдента используется в t-критерии Стьюдента для определения разницы между средними значениями двух выборок и установления доверительных интервалов.

Распределение Стьюдента было разработано статистиком Уильямом Сили Госсетом в 1908 году под псевдонимом «Студент».

Распределение Стьюдента определяется количеством степеней свободы, полученным путем вычитания одной единицы из общего числа наблюдений. Следовательно, формула для определения степеней свободы t-распределения Стьюдента имеет вид ν=n-1 .

$\begin{array}{c}\nu=n-1\\[2ex]X\sim t_\nu\end{array}$

➤ См.: Свойства распределения Стьюдента.

Снедекор Ф Дистрибуция

Распределение F Снедекора , также называемое F-распределением Фишера-Снедекора или просто F-распределением , представляет собой непрерывное распределение вероятностей, используемое в статистических выводах, особенно в дисперсионном анализе.

Одним из свойств распределения Снедекора F является то, что оно определяется значением двух действительных параметров m и n , которые указывают их степени свободы. Таким образом, символом распределения F Снедекора является F _m,n , где m и n — параметры, определяющие распределение.

$F_{m,n}\qquad m,n>0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»18″ width=»139″ style=»vertical-align: -6px;»> Математически распределение Снедекора F равно частному между одним распределением хи-квадрат и его степенями свободы, разделенному на частное между другим распределением хи-квадрат и его степенями свободы. Таким образом, формула, определяющая распределение Snedecor F, выглядит следующим образом: <p class=$ $\left.\begin{array}{c} X\sim \chi_m^2\\[2ex] Y\sim \chi_n^2\end{array}\right\}\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ F_{m,n}= \cfrac{X/m}{Y/n}$

Распределение Фишера-Снедекора F обязано своим названием английскому статистику Рональду Фишеру и американскому статистику Джорджу Снедекору.

В статистике распределение Фишера-Снедекора F имеет различные применения. Например, распределение F Фишера-Снедекора используется для сравнения различных моделей линейной регрессии, и это распределение вероятностей используется в дисперсионном анализе (ANOVA).

➤ См.: Свойства дистрибутива Snedecor F.

Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение — это непрерывное распределение вероятностей, используемое для моделирования времени ожидания возникновения случайного явления.

Точнее, экспоненциальное распределение позволяет описать время ожидания между двумя явлениями, которое следует распределению Пуассона. Следовательно, экспоненциальное распределение тесно связано с распределением Пуассона.

Экспоненциальное распределение имеет характерный параметр, представленный греческой буквой λ и указывающий, сколько раз ожидаемое событие произойдет в течение заданного периода времени.

$X\sim \text{Exp}(\lambda)$

Аналогичным образом, экспоненциальное распределение также используется для моделирования времени до возникновения сбоя. Таким образом, экспоненциальное распределение имеет несколько приложений в теории надежности и выживания.

➤ См.: Свойства экспоненциального распределения.

Бета-распределение

Бета-распределение — это распределение вероятностей, определенное на интервале (0,1) и параметризованное двумя положительными параметрами: α и β. Другими словами, значения бета-распределения зависят от параметров α и β.

Следовательно, бета-распределение используется для определения непрерывных случайных величин, значение которых находится между 0 и 1.

Существует несколько обозначений, указывающих на то, что непрерывная случайная величина определяется бета-распределением. Наиболее распространенными являются:

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim Beta(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim \beta_{\alpha,\beta}\end{array}$

В статистике бета-распределение имеет очень разнообразные применения. Например, бета-распределение используется для изучения процентных изменений в разных выборках. Аналогичным образом, в управлении проектами бета-распределение используется для проведения анализа Перта.

➤ См.: Свойства бета-дистрибутива.

Гамма-распределение

Гамма-распределение представляет собой непрерывное распределение вероятностей, определяемое двумя характерными параметрами: α и λ. Другими словами, гамма-распределение зависит от значения двух его параметров: α — параметра формы и λ — параметра масштаба.

Символом гамма-распределения является заглавная греческая буква Γ. Итак, если случайная величина подчиняется гамма-распределению, она записывается следующим образом:

$X\sim \Gamma(\alpha,\lambda)$

Гамма-распределение также можно параметризовать с помощью параметра формы k = α и обратного параметра масштаба θ = 1/λ. Во всех случаях два параметра, определяющие гамма-распределение, являются положительными действительными числами.

Обычно гамма-распределение используется для моделирования наборов данных с перекосом вправо, поэтому в левой части графика наблюдается большая концентрация данных. Например, гамма-распределение используется для моделирования надежности электрических компонентов.

➤ См.: Свойства гамма-распределения.

Распределение Вейбулла

Распределение Вейбулла представляет собой непрерывное распределение вероятностей, определяемое двумя характеристическими параметрами: параметром формы α и параметром масштаба λ.

В статистике распределение Вейбулла в основном используется для анализа выживаемости. Аналогично, распределение Вейбулла имеет множество приложений в различных областях.

$X\sim\text{Weibull}(\alpha,\lambda)$

По мнению авторов, распределение Вейбулла также можно параметризовать тремя параметрами. Затем добавляется третий параметр, называемый пороговым значением, который указывает абсциссу, с которой начинается график распределения.

Распределение Вейбулла названо в честь шведа Валодди Вейбулла, который подробно описал его в 1951 году. Однако распределение Вейбулла было открыто Морисом Фреше в 1927 году и впервые применено Розином и Раммлером в 1933 году.

➤ См.: Свойства распределения Вейбулла.

Распределение Парето

Распределение Парето — это непрерывное распределение вероятностей, используемое в статистике для моделирования принципа Парето. Следовательно, распределение Парето — это распределение вероятностей, имеющее несколько значений, вероятность появления которых значительно выше остальных значений.

Помните, что закон Парето, также называемый правилом 80-20, представляет собой статистический принцип, который гласит, что большая часть причин явления связана с небольшой частью населения.

Распределение Парето имеет два характерных параметра: параметр масштаба x _m и параметр формы α.

$X\sim \text{Pareto}(\alpha,x_m)$

Первоначально распределение Парето использовалось для описания распределения богатства среди населения, поскольку большая его часть принадлежала небольшой части населения. Но в настоящее время распределение Парето имеет множество применений, например, в контроле качества, в экономике, в науке, в социальной сфере и т. д.

➤ См.: Свойства распределения Парето.

Непрерывное и дискретное распределение вероятностей

Распределения вероятностей можно разделить на непрерывные и дискретные. Итак, наконец, мы увидим, в чем разница между этими двумя типами распределений вероятностей.

Разница между непрерывными распределениями вероятностей и дискретными распределениями вероятностей заключается в количестве значений, которые они могут принимать. Непрерывные распределения могут принимать бесконечное число значений в интервале, тогда как дискретные распределения могут принимать только счетное число значений в интервале.

Поэтому, как правило, один из способов отличить непрерывные распределения от дискретных — это тип чисел, которые они могут принимать. Обычно непрерывное распределение может принимать любое значение, включая десятичные числа, тогда как дискретное распределение может принимать только целые числа.

➤ См.: Что такое дискретное распределение вероятностей?

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше