Общее правило умножения (пояснение и примеры)

Общее правило умножения гласит, что вероятность возникновения любых двух событий A и B можно рассчитать следующим образом:

P(A и B) = P(A) * P(B|A)

Вертикальная полоса | означает «данный». Таким образом, P(B|A) можно прочитать как «вероятность того, что произойдет B, при условии , что произошло A».

Если события A и B независимы, то P(B|A) просто равно P(B), и правило можно упростить следующим образом:

Р(А и В) = Р(А) * Р(В)

Давайте рассмотрим несколько примеров независимых и зависимых событий, чтобы увидеть, как мы можем применить это общее правило умножения на практике.

Общее правило умножения для зависимых событий

Следующие примеры иллюстрируют, как использовать общее правило умножения для нахождения вероятностей, связанных с двумя зависимыми событиями. В каждом примере на вероятность возникновения второго события влияет результат первого события.

Пример 1: шары в урне

В урне 4 красных и 3 зеленых шара. Боб случайным образом выберет из урны 2 шара, не возвращая их обратно. Какова вероятность того, что он выберет 2 красных шара?

Решение: Вероятность того, что он выберет красный шар с первой попытки, равна 4/7. Как только этот шар будет убран, вероятность того, что он выберет красный шар со второй попытки, равна 3/6. Таким образом, вероятность того, что он выберет 2 красных шара, можно рассчитать следующим образом:

P (оба красные) = 4/7 * 3/7 ≈ 0,2249

Пример 2: карты в колоде

Колода карт состоит из 26 черных карт и 26 красных карт. Дебби случайным образом выберет из колоды 2 карты, не заменяя их. Какова вероятность того, что он выберет 2 красные карточки?

Решение: Вероятность того, что она выберет красную карточку с первой попытки, равна 26/52. Как только эта карта будет удалена, вероятность того, что она выберет красную карточку со второй попытки, равна 25/51. Таким образом, вероятность того, что она выберет 2 красные карточки, можно рассчитать следующим образом:

P (оба красные) = 26/52 * 25/51 ≈ 0,2451

Общее правило умножения независимых событий

Следующие примеры иллюстрируют, как использовать общее правило умножения для нахождения вероятностей, связанных с двумя независимыми событиями. В каждом примере вероятность возникновения второго события не зависит от результата первого события.

Пример 1: подбросить две монеты

Предположим, мы вытянули две монеты. Какова вероятность того, что две монеты выпадут орлом?

Решение: Вероятность того, что первая монета выпадет орлом, равна 1/2. Независимо от того, какой стороной выпадет первая монета, вероятность того, что вторая монета упадет орлом, также равна 1/2. Таким образом, вероятность того, что на двух монетах выпадет решка, можно рассчитать следующим образом:

P (обе приземляются орлом) = 1/2 * 1/2 = 0,25.

Пример 2. Бросок двух кубиков.

Предположим, мы бросаем два кубика одновременно. Какова вероятность того, что на обоих кубиках выпадет число 1?

Решение: Вероятность того, что на первом кубике выпадет «1», равна 1/6. Независимо от того, на какой стороне выпадет первый кубик, вероятность того, что на втором кубике выпадет «1», также равна 1/6. Таким образом, вероятность того, что на обоих кубиках выпадет «1», можно рассчитать следующим образом:

P(оба приземляются на «1») = 1/6 * 1/6 = 1/36 ≈ 0,0278