Как создать односторонние доверительные интервалы: с примерами

Доверительный интервал для среднего значения — это диапазон значений, который может содержать среднее значение генеральной совокупности с определенным уровнем достоверности.

Он рассчитывается следующим образом:

Доверительный интервал = x +/- t _{α/2, n-1} *(s/√ n )

Золото:

• x : образец означает
• t _{α/2, n-1} : значение t, соответствующее α/2 с n-1 степенями свободы.
• s: выборочное стандартное отклонение
• n: размер выборки

Приведенная выше формула описывает, как создать типичный двусторонний доверительный интервал .

Однако в некоторых сценариях нам нужно создать только односторонние доверительные интервалы .

Для этого мы можем использовать следующие формулы:

Нижний односторонний доверительный интервал = [-∞, x + t _{α, n-1} *(s/√ n )]

Верхний односторонний доверительный интервал = [ x – t _{α, n-1} *(s/√ n ), ∞ ]

Следующие примеры показывают, как на практике создать нижний и верхний односторонние доверительные интервалы.

Пример 1. Создайте нижний односторонний доверительный интервал.

Предположим, мы хотим создать нижний односторонний 95% доверительный интервал для среднего значения генеральной совокупности, в котором мы собираем следующую информацию для выборки:

• х : 20,5
• с: 3,2
• н: 18

Согласно калькулятору обратного распределения t, значение t, которое мы должны использовать для одностороннего 95% доверительного интервала с n-1 = 17 степенями свободы, составляет 1,7396.

Затем мы можем подставить каждое из этих значений в формулу нижнего одностороннего доверительного интервала:

• Нижний односторонний доверительный интервал = [-∞, x + t _{α, n-1} *(s/√ n )]
• Нижний односторонний доверительный интервал = [-∞, 20,5 + 1,7396*(3,2/√ 18 )]
• Нижний односторонний доверительный интервал = [-∞, 21,812]

Мы бы интерпретировали этот интервал следующим образом: мы на 95% уверены, что истинное среднее значение популяции равно или меньше 21 812 .

Пример 2. Создание верхнего одностороннего доверительного интервала

Предположим, мы хотим создать верхний односторонний 95% доверительный интервал для среднего значения генеральной совокупности, в котором мы собираем следующую информацию для выборки:

• х : 40
• с: 6,7
• н: 25

Согласно калькулятору обратного распределения t, значение t, которое мы должны использовать для одностороннего 95% доверительного интервала с n-1 = 24 степенями свободы, составляет 1,7109.

Затем мы можем подставить каждое из этих значений в формулу верхнего одностороннего доверительного интервала:

• Верхний односторонний доверительный интервал = [ x – t _{α, n-1} *(s/√ n ), ∞ ]
• Нижний односторонний доверительный интервал = [ 40 – 1,7109*(6,7/√ 25 ), ∞ ]
• Нижний односторонний доверительный интервал = [37,707, ∞]

Мы бы интерпретировали этот интервал следующим образом: Мы на 95% уверены, что истинное среднее значение численности населения больше или равно 37 707 .

Дополнительные ресурсы

В следующих руководствах представлена дополнительная информация о доверительных интервалах:

Введение в доверительные интервалы
Как сообщить о доверительных интервалах
Как интерпретировать доверительный интервал, содержащий ноль