Проверка гипотезы на пропорцию

К бенджамин андерсон 3 августа, 2023 Статистика 0 комментариев

В этой статье объясняется, какую долю занимает проверка гипотез в статистике. Таким образом, вы найдете формулу проверки гипотезы для пропорции и, кроме того, пошаговое упражнение, чтобы полностью понять, как это делается.

Что такое проверка гипотезы на пропорцию?

Проверка гипотезы о пропорциях — это статистический метод, используемый для определения того, следует ли отвергать нулевую гипотезу о доле в популяции.

Таким образом, в зависимости от значения статистики проверки гипотезы для доли и уровня значимости нулевая гипотеза отклоняется или принимается.

Обратите внимание, что проверку гипотез можно также назвать контрастом гипотез, проверкой гипотез или проверкой значимости.

Формула проверки гипотезы для определения пропорции

Статистика проверки гипотезы для этой доли равна разнице в выборочной доле за вычетом предложенного значения доли, деленной на стандартное отклонение доли.

Таким образом , формула гипотезы проверки для пропорции выглядит следующим образом:

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

Золото:

$Z$

— статистика проверки гипотезы для пропорции.
$\widehat{p}$

– это доля выборки.
$p$

– значение предложенной пропорции.
$n$

это размер выборки.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

– стандартное отклонение пропорции.

Имейте в виду, что недостаточно вычислить статистику проверки гипотезы для пропорции, но затем необходимо интерпретировать результат:

Если проверка гипотезы для доли является двусторонней, нулевая гипотеза отклоняется, если абсолютное значение статистики превышает критическое значение Z _α/2 .
Если проверка гипотезы для доли соответствует правому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика превышает критическое значение Z _α .
Если проверка гипотезы для доли соответствует левому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика меньше критического значения -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Помните, что критические значения легко получить из таблицы нормального распределения.

➤ См.: Таблица нормального распределения.

Пример проверки гипотезы на пропорцию

Как только мы увидим определение проверки гипотезы на пропорцию и ее формулу, мы решим пример, чтобы лучше понять концепцию.

По заявлению производителя, препарат против конкретного заболевания эффективен на 70%. В лаборатории мы проверяем эффективность этого препарата, поскольку исследователи считают, что пропорция другая. Для этого препарат испытывают на выборке из 1000 пациентов и вылечивают 641 человека. Выполните проверку гипотезы о доле населения с уровнем значимости 5%, чтобы отвергнуть или не отвергнуть гипотезу исследователей.

В этом случае нулевая гипотеза и альтернативная гипотеза проверки гипотезы на долю населения таковы:

$\begin{cases}H_0: p=0,70\\[2ex] H_1:p\neq 0,70 \end{cases}$

Доля людей в выборке, вылечившихся с помощью препарата, составляет:

$\widehat{p}=\cfrac{641}{1000}=0,641$

Мы рассчитываем статистику проверки гипотезы для пропорции, применяя формулу, показанную выше:

$\begin{aligned} \displaystyle Z&=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\\[2ex]Z&=\frac{0,641-0,70}{\displaystyle\sqrt{\frac{0,70\cdot (1-0,70)}{1000}}} \\[2ex] Z&=-4,07\end{aligned}}$

С другой стороны, поскольку уровень значимости равен 0,05 и это двусторонний тест гипотезы, критическое значение теста составляет 1,96.

$Z_{0,025}=1,96$

➤ См.: Уровень значимости 0,05.

В заключение отметим, что абсолютное значение тестовой статистики больше критического значения, поэтому мы отвергаем нулевую гипотезу и принимаем альтернативную гипотезу.

$|-4,07|=4,07>1,96 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Se rechaza } H_0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»19″ width=»424″ style=»vertical-align: -5px;»></p> </p> <div style=$ ➤ См.: Проверка гипотезы для среднего значения.

Проверка гипотезы для двух долей выборки

Проверка гипотезы относительно долей двух выборок используется для отклонения или принятия нулевой гипотезы о том, что доли двух разных популяций равны.

Таким образом, нулевая гипотеза проверки гипотезы для пропорций двух выборок всегда равна:

$H_0: p_1=p_2$

Альтернативной гипотезой может быть один из трёх вариантов:

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{l}H_1:p_1\neq p_2\\[2ex]H_1:p_1>p_2\\[2ex]H_1:p_1 The combined ratio of the two samples is calculated as follows:[latex]p=\cfrac {x_1+x_2}{n_1+n_2}

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \begin{array}{l}
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...H_1:p_1>p_2\\[2ex]H_1:p_1 The combined ratio
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...\[2ex]H_1:p_1 The combined ratio of the two
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...combined of the two samples is calculated
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.

А формула для расчета статистики проверки гипотезы для двух пропорций выборки:

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle \frac{x_1}{n_1}-\frac{x_2}{n_2}}{\displaystyle \sqrt{p(1-p)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}$

Золото:

$Z$

— статистика проверки гипотезы для двухвыборочных пропорций.
$x_1$

— количество результатов в выборке 1.
$x_2$

— количество результатов в выборке 2.
$n_1$

размер выборки 1.
$n_2$

размер выборки 2.
$p$

представляет собой объединенную долю двух выборок.

Проверка гипотезы для k долей выборки

При проверке гипотезы о пропорциях k выборок цель состоит в том, чтобы определить, все ли пропорции различных популяций равны или, наоборот, существуют разные пропорции. Следовательно, нулевая гипотеза и альтернативная гипотеза в данном случае таковы:

$\begin{cases}H_0: \text{Todas las proporciones son iguales}\\[2ex] H_1: \text{No todas las proporciones son iguales} \end{cases}$

В этом случае совокупная доля всех образцов рассчитывается следующим образом:

$p=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^k x_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_i}=\cfrac{x_1+x_2+\dots+x_k}{n_1+n_2+\dots+n_k}$

Формула для нахождения статистики проверки гипотезы для k долей выборки:

$\displaystyle \chi^2 =\sum_{i=1}^k \frac{(x_i-e_i)^2}{e_i}$

$\displaystyle\chi^2 = \frac{(x_1-e_1)^2}{e_1} +\frac{(x_2-e_2)^2}{e_2} +\dots+\frac{(x_k-e_k)^2}{e_k}$

Золото:

$\chi^2$

— статистика проверки гипотезы для k долей выборки. В этом случае статистика следует распределению хи-квадрат.
$x_i$

количество результатов в выборке i.
$n_i$

размер выборки i.
$p$

представляет собой совокупную долю всех образцов.
$e_i$

— количество совпадений, ожидаемых от образца i. Он рассчитывается путем умножения объединенной пропорции

$p$

по размеру выборки

$n_i$

.

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше

Что такое проверка гипотезы на пропорцию?

Формула проверки гипотезы для определения пропорции

Пример проверки гипотезы на пропорцию

Проверка гипотезы для двух долей выборки

Проверка гипотезы для k долей выборки

Об авторе

бенджамин андерсон

Добавить комментарий