Раздача рыбы

К бенджамин андерсон 3 августа, 2023 Вероятность 0 комментариев

В этой статье объясняется, что такое распределение Пуассона в статистике и для чего оно используется. Итак, вы найдете определение распределения Пуассона, примеры распределений Пуассона и их свойства. Наконец, вы сможете вычислить любую вероятность распределения Пуассона с помощью онлайн-калькулятора.

Что такое распределение Пуассона?

Распределение Пуассона — это распределение вероятностей, которое определяет вероятность того, что заданное количество событий произойдет за определенный период времени.

Другими словами, распределение Пуассона используется для моделирования случайных величин, которые описывают количество повторений явления за определенный интервал времени.

Распределение Пуассона имеет характерный параметр, представленный греческой буквой λ и указывающий, сколько раз ожидаемое событие произойдет в течение заданного интервала.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

В общем, распределение Пуассона используется для статистического моделирования событий с очень низкой вероятностью возникновения. Ниже вы можете увидеть несколько примеров такого типа распределения вероятностей.

Примеры распределения Пуассона

После ознакомления с определением распределения Пуассона, вот несколько примеров распределения Пуассона.

Примеры распределения Пуассона:

Количество людей, заходящих в магазин за один час.
Количество транспортных средств, пересекающих границу между двумя странами за месяц.
Количество пользователей, которые заходят на веб-страницу в день.
Количество бракованных деталей, выпускаемых заводом за день.
Количество звонков, принимаемых телефонной станцией в минуту.

Формула распределения рыбы

В распределении Пуассона вероятность возникновения x событий равна числу e в степени -λ , умноженному на λ в степени x и разделенному на факториал x .

Следовательно, формула для расчета вероятности распределения Пуассона :

👉 Вы можете использовать калькулятор ниже, чтобы рассчитать вероятность переменной, которая соответствует распределению Пуассона.

Поскольку распределение Пуассона представляет собой дискретное распределение вероятностей, для определения кумулятивной вероятности необходимо найти вероятности всех значений до рассматриваемого значения, а затем сложить все вычисленные вероятности.

Решение упражнения по распределению Пуассона

Количество продуктов, продаваемых брендом, соответствует распределению Пуассона λ = 5 единиц/день. Какова вероятность того, что за один день вы продали только 7 единиц товара? А вероятность того, что за один день вы продали 3 единицы или меньше?

Чтобы получить различные вероятности, необходимые для задачи, мы должны применить формулу распределения Пуассона (см. Выше). Итак, по этой формуле рассчитаем вероятность продажи 7 единиц за один день:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=7]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^7}{7!}\\[2ex]P[X=7]&=0,1044\end{aligned}$

Во-вторых, нас просят определить совокупную вероятность продажи 3 или менее единиц товара. Следовательно, чтобы найти эту вероятность, нам нужно вычислить вероятность продажи 1 единицы, 2 единиц и 3 единиц по отдельности, а затем сложить их.

$P[X\leq 3]=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]$

Поэтому сначала рассчитаем каждую вероятность отдельно:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=1]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^1}{1!}\\[2ex]P[X=1]&=0,0337\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=2]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^2}{2!}\\[2ex]P[X=2]&=0,0842\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=3]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^3}{3!}\\[2ex]P[X=3]&=0,1404\end{aligned}$

Затем мы добавляем три рассчитанные вероятности, чтобы определить вероятность продажи трех или менее единиц товара в день.

$\begin{aligned}P[X\leq 3]&=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,0337+0,0842+0,1404\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,2583\end{aligned}$

Характеристики распределения Пуассона

В этом разделе мы увидим, каковы характеристики распределения Пуассона.

Распределение Пуассона определяется единственным характерным параметром λ, который указывает, сколько раз ожидаемое событие произойдет в течение определенного периода времени.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

Среднее значение распределения Пуассона равно его характеристическому параметру λ.

$E[X]=\lambda$

Точно так же дисперсия распределения Пуассона эквивалентна его характеристическому параметру λ.

$Var(X)=\lambda$

Если λ — целое число, мода распределения Пуассона является бимодальной и его значения — λ и λ-1. Вместо этого, если λ не является целым числом, модой распределения Пуассона является наибольшее целое число, меньшее или равное λ.

$\begin{array}{l}\lambda \in \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\{\lambda, \lambda-1\} \\[2ex]}\lambda \ \cancel{\in} \ \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\lfloor\lambda\rfloor\end{array}$

Конкретной формулы для определения медианы распределения Пуассона не существует, но можно найти ее интервал:

$\lambda-\ln 2\leq Me < \lambda +\cfrac{1}{3}$

Функция вероятности распределения Пуассона выглядит следующим образом:

$P[X=x]=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}$

Добавление независимых случайных величин Пуассона приводит к получению другой случайной величины Пуассона, характеристический параметр которой представляет собой сумму параметров исходных переменных.

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Poisson}(\lambda_i) \quad i=1,\ldots,N\\[2ex] \displaystyle Y=\sum_{i=1}^N X_i\sim \text{Poisson}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\end{array}$

Биномиальное распределение можно аппроксимировать как распределение Пуассона, если общее количество наблюдений достаточно велико (n≥100), причем λ является произведением двух характерных параметров биномиального распределения.

$X\sim \text{Bin}(n,p)\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim \text{Poisson}(n\cdot p)$

➤ См.: Характеристики биномиального распределения.

Калькулятор распределения рыбы

Подставьте значение параметра λ и значение x в калькулятор ниже, чтобы вычислить вероятность. Вам нужно выбрать вероятность, которую вы хотите рассчитать, и ввести числа, используя точку в качестве десятичного разделителя, например 0,1667.

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше