Доверительный интервал для среднего значения

Доверительный интервал для среднего значения — это диапазон значений, который может содержать среднее значение генеральной совокупности с определенным уровнем достоверности.

В этом руководстве объясняется следующее:

• Мотивация создания доверительного интервала для среднего значения.
• Формула для создания доверительного интервала для среднего значения.
• Пример того, как рассчитать доверительный интервал для среднего значения.
• Как интерпретировать доверительный интервал для среднего значения.

Доверительный интервал для среднего: мотивация

Причина, по которой нам даже хотелось бы создать доверительный интервал для среднего значения, заключается в том, что мы хотим уловить нашу неопределенность при оценке среднего значения совокупности.

Например, предположим, что мы хотим оценить средний вес черепах определенного вида во Флориде. Поскольку во Флориде обитают тысячи черепах, было бы чрезвычайно много времени и денег, чтобы обойти и взвесить каждую черепаху по отдельности.

Вместо этого мы могли бы взять простую случайную выборку из 50 черепах и использовать средний вес черепах в этой выборке, чтобы оценить истинный средний показатель по популяции:

Проблема в том, что средний вес выборки не обязательно точно соответствует среднему весу всей совокупности. Итак, чтобы уловить эту неопределенность, мы можем создать доверительный интервал, содержащий диапазон значений, который, вероятно, будет содержать истинный средний вес черепах в популяции.

Доверительный интервал для среднего: формула

Мы используем следующую формулу для расчета доверительного интервала для среднего значения:

Доверительный интервал = x +/- z*(s/√ n )

Золото:

• x : образец означает
• z: выбранное значение z
• s: выборочное стандартное отклонение
• n: размер выборки

Используемое вами значение z зависит от выбранного вами уровня достоверности. В следующей таблице показано значение z, соответствующее наиболее распространенным вариантам уровня достоверности:

Обратите внимание, что более высокие уровни достоверности соответствуют большим значениям z, что приводит к более широким доверительным интервалам. Это означает, что, например, доверительный интервал 99% будет шире, чем доверительный интервал 95% для того же набора данных.

Доверительный интервал для среднего значения: пример

Предположим, мы собираем случайную выборку черепах со следующей информацией:

• Размер выборки n = 25
• Средний вес выборки x = 300
• Выборочное стандартное отклонение s = 18,5

Вот как найти различные доверительные интервалы для истинного среднего веса населения:

90% доверительный интервал: 300 +/- 1,645*(18,5/√ 25 ) = [293,91, 306,09]

95% доверительный интервал: 300 +/- 1,96*(18,5/√ 25 ) = [292,75, 307,25]

99% доверительный интервал: 300 +/- 2,58*(18,5/√ 25 ) = [ 290,47 , 309,53]

Примечание. Вы также можете найти эти доверительные интервалы с помощью калькулятора статистических доверительных интервалов .

Доверительный интервал для среднего: интерпретация

Мы интерпретируем доверительный интервал следующим образом:

Существует 95% вероятность того, что доверительный интервал [292,75, 307,25] содержит истинный средний вес популяции черепах.

Другой способ сказать то же самое состоит в том, что существует только 5%-ная вероятность того, что истинное среднее значение генеральной совокупности лежит за пределами 95%-ного доверительного интервала. То есть существует только 5% вероятность того, что фактический средний вес популяции черепах будет больше 307,25 фунтов или меньше 292,75 фунтов.