Доверительный интервал для одного стандартного отклонения

Доверительный интервал для стандартного отклонения — это диапазон значений, который может содержать стандартное отклонение генеральной совокупности с определенным уровнем достоверности.

В этом руководстве объясняется следующее:

• Мотивация создания этого доверительного интервала.
• Формула для создания этого доверительного интервала.
• Пример того, как рассчитать этот доверительный интервал.
• Как интерпретировать этот доверительный интервал.

Доверительный интервал для одного стандартного отклонения: мотивация

Причина, по которой мы создаем доверительный интервал для стандартного отклонения, заключается в том, что мы хотим уловить нашу неопределенность при оценке стандартного отклонения генеральной совокупности.

Например, предположим, что мы хотим оценить стандартное отклонение веса черепах определенного вида во Флориде. Поскольку во Флориде обитают тысячи черепах, было бы чрезвычайно много времени и денег, чтобы обойти и взвесить каждую черепаху по отдельности.

Вместо этого мы могли бы взять простую случайную выборку из 50 черепах и использовать стандартное отклонение веса черепах в этой выборке, чтобы оценить истинное стандартное отклонение популяции:

Проблема в том, что стандартное отклонение выборки не обязательно точно соответствует стандартному отклонению всей совокупности. Итак, чтобы уловить эту неопределенность, мы можем создать доверительный интервал, содержащий диапазон значений, которые, вероятно, будут содержать истинное стандартное отклонение генеральной совокупности.

Доверительный интервал для одного стандартного отклонения: формула

Мы используем следующую формулу для расчета доверительного интервала для среднего значения:

Доверительный интервал = [√(n-1)s ² /X ² _α/2 , √(n-1)s ² /X ² _1-α/2 ]

Золото:

• n: размер выборки
• s: стандартное отклонение выборки
• X ² : Критическое значение Хи-квадрата с n-1 степенями свободы.

Доверительный интервал для стандартного отклонения: пример

Предположим, мы собираем случайную выборку черепах со следующей информацией:

• Размер выборки n = 27
• Выборочное стандартное отклонение s = 6,43

Вот как найти различные доверительные интервалы для истинного стандартного отклонения генеральной совокупности:

90% доверительный интервал: [ √ (27-1)*6,43 ² /38,885, √ (27-1)*6,43 ^2/ 15,379) = [5,258, 8,361]

95% доверительный интервал: [ √ (27-1)*6,43 ² /41,923, √ (27-1)*6,43 ^2/ 13,844) = [5,064, 8,812]

99% доверительный интервал: [ √ (27-1)*6,43 ² /48,289, √ (27-1)*6,43 ^{2 /} 11,160) = [4,718, 9,814]

Примечание. Эти доверительные интервалы также можно найти с помощью калькулятора доверительного интервала для стандартного отклонения .

Доверительный интервал для одного стандартного отклонения: интерпретация

Мы интерпретируем доверительный интервал следующим образом:

Существует 95% вероятность того, что доверительный интервал [5,064, 8,812] содержит истинное стандартное отклонение генеральной совокупности.

Другой способ сказать то же самое состоит в том, что существует только 5%-ная вероятность того, что истинное стандартное отклонение генеральной совокупности находится за пределами 95%-ного доверительного интервала. То есть существует только 5% вероятность того, что истинное стандартное отклонение генеральной совокупности будет больше 8812 или меньше 5064.