Теорема полной вероятности

В этой статье объясняется, что такое теорема полной вероятности и для чего она используется в теории вероятности и статистике. Итак, вы найдете формулу теоремы полной вероятности, решенные упражнения и случаи использования теоремы полной вероятности.

Что такое Теорема полной вероятности?

В теории вероятностей теорема полной вероятности представляет собой закон, который позволяет вычислить вероятность события, не являющегося частью выборочного пространства, на основе условных вероятностей всех событий в указанном выборочном пространстве.

Таким образом, теорема полной вероятности используется для расчета вероятности конкретного события на основе частичной информации об этом событии. Иногда мы не можем определить вероятность события, непосредственно применяя правило Лапласа, поскольку не располагаем всей необходимой информацией. Но если мы знаем данные об этом событии относительно других событий, теорема полной вероятности обычно оказывается полезной.

Короче говоря, теорема полной вероятности используется, когда мы хотим вычислить вероятность события, но имеем информацию о нем только при определенных условиях. Например, некоторые приложения этой теоремы включают эксперименты с несколькими случаями, теорию массового обслуживания и анализ выживания.

Формула теоремы о полной вероятности

Теорема полной вероятности гласит, что для данного набора событий {A ₁ , A ₂ ,…, _An }, которые образуют раздел выборочного пространства, вероятность события B равна сумме произведений вероятностей каждого событие P(A _i ) по условной вероятности P(B|A _i ).

Следовательно, формула теоремы о полной вероятности имеет вид:

Золото:

• 

  — вероятность того, что событие B произойдет.

• 

  — условная вероятность события B при данном событии A _i .

• 

  — вероятность того, что событие A _i произойдет.

Имейте в виду, что по вероятности раздел выборочного пространства определяется как набор взаимно несовместимых событий, объединение которых образует выборочное пространство.

Конкретный пример теоремы о полной вероятности

Увидев определение теоремы о полной вероятности и ее формулу, мы увидим решенное упражнение о том, как вычисляется вероятность с помощью теоремы о полной вероятности, чтобы лучше понять ее смысл.

• В магазине электроники продаются телевизоры трех марок: X, Y, Z. Подсчитано, что 20% продаж составляют телевизоры марки, % бракованных марок и 4% телевизоров марки Z. телевизоры неисправны. Насколько велика вероятность купить бракованный телевизор?

Постановка задачи дает нам вероятности того, что покупатель купит телевизор каждой марки:

• Событие А ₁ : Покупатель покупает телевизор _{определенной} марки.
• Событие _A2 : Покупатель покупает телевизор марки Y → P( _A2 )=0,50.
• Событие _A3 : Покупатель покупает телевизор марки Z → P( _A3 )=0,30.

Кроме того, формулировка упражнения также дает нам вероятность того, что телевизор каждой марки неисправен:

Событие Б: Телевизор неисправен.

• B|A ₁ : Учитывая телевизор марки X, телевизор неисправен → P(B|A ₁ ) = 0,05.
• B|A ₂ : Учитывая марку телевизора Y, телевизор неисправен → P(B|A ₂ )=0,03.
• B|A ₃ : Учитывая телевизор марки Z, телевизор неисправен → P(B|A ₃ )=0,04.

Таким образом, вероятностное дерево задачи имеет следующий вид:

Итак, чтобы рассчитать вероятность покупки бракованного телевизора, нам нужно воспользоваться формулой правила полной вероятности:

В нашем случае выборочное пространство состоит из трех событий (A ₁ , A ₂ и A ₃ ), поэтому формула теоремы о полной вероятности выглядит следующим образом:

Поэтому достаточно заменить вероятности предыдущего выражения, чтобы найти вероятность покупки неисправного телевизора:

В заключение, существует вероятность 3,7%, что мы покупаем телевизор и он неисправен.

Теорема полной вероятности и теорема Байеса

Теорема о полной вероятности и теорема Байеса — две важные теоремы теории вероятностей, особенно потому, что они позволяют нам вычислять вероятности на основе значений условных вероятностей.

Теорема Байеса — это закон теории вероятностей, который используется для расчета вероятности события, когда априорная информация об этом событии известна.

В частности, теорема о полной вероятности и теорема Байеса связаны между собой, фактически знаменатель формулы теоремы Байеса эквивалентен формуле теоремы о полной вероятности.

Нажмите на следующую ссылку, чтобы узнать, что такое теорема Байеса и примеры ее применения: