Типы вероятностных распределений

К бенджамин андерсон 3 августа, 2023 Вероятность 0 комментариев

В этой статье объясняются различные типы распределений вероятностей в статистике. Так вы узнаете, сколько существует типов вероятностных распределений и в чем между ними различия.

Какие существуют типы вероятностных распределений?

Типы вероятностных распределений :

Дискретные распределения вероятностей :
- Дискретное равномерное распределение .
- Распределение Бернулли .
- Биномиальное распределение .
- Раздача рыбы .
- Полиномиальное распределение .
- Геометрическое распределение .
- Отрицательное биномиальное распределение .
- Гипергеометрическое распределение .
Непрерывные распределения вероятностей :

Равномерное и непрерывное распределение .
Нормальное распределение .
Логнормальное распределение .
Распределение хи-квадрат .
Распределение Стьюдента .
Дистрибьюция Snedecor F.
Экспоненциальное распределение .
Бета-распределение .
Гамма-распределение .
Распределение Вейбулла .
Распределение Парето .

Каждый тип распределения вероятностей подробно описан ниже.

Дискретные распределения вероятностей

Дискретное распределение вероятностей — это распределение, которое определяет вероятности дискретной случайной величины. Следовательно, дискретное распределение вероятностей может принимать только конечное число значений (обычно целочисленных).

Дискретное равномерное распределение

Дискретное равномерное распределение — это дискретное распределение вероятностей, в котором все значения равновероятны, то есть в дискретном равномерном распределении все значения имеют одинаковую вероятность появления.

Например, бросок игральной кости можно определить с помощью дискретного равномерного распределения, поскольку все возможные исходы (1, 2, 3, 4, 5 или 6) имеют одинаковую вероятность выпадения.

В общем, дискретное равномерное распределение имеет два характерных параметра a и b , которые определяют диапазон возможных значений, которые может принимать распределение. Таким образом, когда переменная определяется дискретным равномерным распределением, она пишется Uniform(a,b) .

$X\sim \text{Uniforme}(a,b)$

Дискретное равномерное распределение можно использовать для описания случайных экспериментов, поскольку, если все результаты имеют одинаковую вероятность, это означает, что в эксперименте присутствует случайность.

➤ См.: Характеристики дискретного равномерного распределения.

Распределение Бернулли

Распределение Бернулли , также известное как дихотомическое распределение , представляет собой распределение вероятностей, которое представляет собой дискретную переменную, которая может иметь только два результата: «успех» или «неуспех».

В распределении Бернулли «успех» — это результат, который мы ожидаем, и имеет значение 1, тогда как результат «неудача» — это результат, отличный от ожидаемого, и имеет значение 0. Итак, если вероятность результата « успех» равен p , вероятность исхода «неудача» равна q=1-p .

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

Распределение Бернулли названо в честь швейцарского статистика Якоба Бернулли.

В статистике распределение Бернулли в основном имеет одно применение: определение вероятностей экспериментов, в которых есть только два возможных результата: успех и неудача. Итак, эксперимент, в котором используется распределение Бернулли, называется тестом Бернулли или экспериментом Бернулли.

➤ См.: Характеристики распределения Бернулли.

Биномиальное распределение

Биномиальное распределение , также называемое биномиальным распределением , представляет собой распределение вероятностей, которое подсчитывает количество успехов при выполнении серии независимых дихотомических экспериментов с постоянной вероятностью успеха. Другими словами, биномиальное распределение — это распределение, которое описывает количество успешных результатов последовательности испытаний Бернулли.

Например, количество раз, когда монета выпадет орлом 25 раз, является биномиальным распределением.

В общем, общее количество проведенных экспериментов определяется параметром n , а p — вероятность успеха каждого эксперимента. Таким образом, случайная величина, имеющая биномиальное распределение, записывается следующим образом:

$X\sim\text{Bin}(n,p)$

Обратите внимание, что при биномиальном распределении один и тот же эксперимент повторяется n раз, и эксперименты независимы друг от друга, поэтому вероятность успеха для каждого эксперимента одинакова (p) .

➤ См.: Характеристики биномиального распределения.

Раздача рыбы

Распределение Пуассона — это распределение вероятностей, которое определяет вероятность того, что определенное количество событий произойдет в течение определенного периода времени. Другими словами, распределение Пуассона используется для моделирования случайных величин, которые описывают количество повторений явления за определенный интервал времени.

Например, количество звонков, принимаемых телефонной станцией в минуту, представляет собой дискретную случайную величину, которую можно определить с помощью распределения Пуассона.

Распределение Пуассона имеет характерный параметр, представленный греческой буквой λ и указывающий, сколько раз ожидаемое событие произойдет в течение заданного интервала.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

➤ См.: Характеристики распределения Пуассона.

полиномиальное распределение

Полиномиальное распределение (или полиномиальное распределение ) — это распределение вероятностей, которое описывает вероятность того, что несколько исключительных событий произойдут заданное количество раз после выполнения нескольких испытаний.

То есть, если случайный эксперимент может привести к трем или более исключительным событиям и известна вероятность того, что каждое событие произойдет отдельно, полиномиальное распределение используется для расчета вероятности того, что при проведении нескольких экспериментов произойдет определенное количество событий. раз каждое событие.

Таким образом, полиномиальное распределение является обобщением биномиального распределения.

➤ См.: Свойства полиномиального распределения.

геометрическое распределение

Геометрическое распределение — это распределение вероятностей, определяющее количество испытаний Бернулли, необходимое для получения первого успешного результата. То есть геометрическое распределение моделирует процессы, в которых эксперименты Бернулли повторяются до тех пор, пока один из них не получит положительный результат.

Например, количество автомобилей, проезжающих по шоссе до тех пор, пока они не увидят желтую машину, является геометрическим распределением.

Помните, что тест Бернулли — это эксперимент, имеющий два возможных результата: «успех» и «неуспех». Таким образом, если вероятность «успеха» равна p , вероятность «неудачи» равна q=1-p .

Следовательно, геометрическое распределение зависит от параметра p , который представляет собой вероятность успеха всех проведенных экспериментов. Более того, вероятность p одинакова для всех экспериментов.

$X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

➤ См.: Характеристики геометрического распределения.

отрицательное биномиальное распределение

Отрицательное биномиальное распределение — это распределение вероятностей, которое описывает количество испытаний Бернулли, необходимых для получения заданного количества положительных результатов.

Следовательно, отрицательное биномиальное распределение имеет два характерных параметра: r — желаемое количество успешных результатов и p — вероятность успеха для каждого проведенного эксперимента Бернулли.

$X\sim \text{BN}(r,p)$

Таким образом, отрицательное биномиальное распределение определяет процесс, в котором выполняется столько испытаний Бернулли, сколько необходимо для получения положительных результатов . Более того, все эти испытания Бернулли независимы и имеют постоянную вероятность успеха .

Например, случайная величина, имеющая отрицательное биномиальное распределение, — это количество раз, которое необходимо бросить игральную кость, пока число 6 не станет трижды.

➤ См.: Характеристики отрицательного биномиального распределения.

гипергеометрическое распределение

Гипергеометрическое распределение — это распределение вероятностей, которое описывает количество успешных случаев случайного извлечения без замены n элементов из популяции.

То есть гипергеометрическое распределение используется для расчета вероятности получения x успехов при извлечении n элементов из популяции без замены ни одного из них.

Следовательно, гипергеометрическое распределение имеет три параметра:

N : количество элементов в популяции (N = 0, 1, 2,…).
K : максимальное количество случаев успеха (K = 0, 1, 2,…,N). Поскольку в гипергеометрическом распределении элемент можно считать только «успехом» или «неудачей», NK — это максимальное количество случаев отказа.
n : количество выполняемых выборок без замены.

$X \sim HG(N,K,n)$

➤ См.: Характеристики гипергеометрического распределения.

Непрерывные распределения вероятностей

Непрерывное распределение вероятностей — это распределение, которое может принимать любое значение в интервале, включая десятичные значения. Следовательно, непрерывное распределение вероятностей определяет вероятности непрерывной случайной величины.

равномерное и непрерывное распределение

Непрерывное равномерное распределение , также называемое прямоугольным распределением , представляет собой тип непрерывного распределения вероятностей, в котором все значения имеют одинаковую вероятность появления. Другими словами, непрерывное равномерное распределение — это распределение, в котором вероятность равномерно распределена по интервалу.

Непрерывное равномерное распределение используется для описания непрерывных переменных, имеющих постоянную вероятность. Аналогичным образом, непрерывное равномерное распределение используется для определения случайных процессов, поскольку, если все результаты имеют одинаковую вероятность, это означает, что результат является случайным.

Непрерывное равномерное распределение имеет два характерных параметра a и b , которые определяют интервал равновероятности. Таким образом, символ непрерывного равномерного распределения — U(a,b) , где a и b — характеристические значения распределения.

$X\sim U(a,b)$

Например, если результат случайного эксперимента может принимать любое значение от 5 до 9 и все возможные результаты имеют одинаковую вероятность наступления, эксперимент можно смоделировать с помощью непрерывного равномерного распределения U(5.9).

➤ См.: Характеристики непрерывного равномерного распределения.

Нормальное распределение

Нормальное распределение — это непрерывное распределение вероятностей, график которого имеет колоколообразную форму и симметричен относительно своего среднего значения. В статистике нормальное распределение используется для моделирования явлений с очень разными характеристиками, поэтому это распределение так важно.

Фактически, в статистике нормальное распределение считается безусловно самым важным распределением из всех распределений вероятностей, поскольку оно позволяет не только моделировать большое количество реальных явлений, но и использовать нормальное распределение для аппроксимации других типов распределений. при определенных условиях.

Символом нормального распределения является заглавная буква N. Итак, чтобы указать, что переменная подчиняется нормальному распределению, она обозначается буквой N, а в скобках добавляются значения ее среднего арифметического и стандартного отклонения.

$X\sim N(\mu,\sigma)$

Нормальное распределение имеет много разных названий, включая распределение Гаусса , распределение Гаусса и распределение Лапласа-Гаусса .

➤ См.: Характеристики нормального распределения.

Логнормальное распределение

Логнормальное распределение , или логнормальное распределение , — это распределение вероятностей, которое определяет случайную величину, логарифм которой соответствует нормальному распределению.

Следовательно, если переменная X имеет нормальное распределение, то показательная функция ^ex имеет логнормальное распределение.

$X\sim \text{Lognormal}(\mu,\sigma^2)$

Обратите внимание, что логнормальное распределение можно использовать только в том случае, если значения переменных положительны, поскольку логарифм — это функция, принимающая только один положительный аргумент.

Среди различных применений логнормального распределения в статистике мы выделяем использование этого распределения для анализа финансовых вложений и проведения анализа надежности.

Логнормальное распределение также известно как распределение Тинаута , иногда его также называют логнормальным распределением или логнормальным распределением .

➤ См.:Характеристики логнормального распределения.

Распределение хи-квадрат

Распределение хи-квадрат — это распределение вероятностей, символ которого — χ². Точнее, распределение хи-квадрат представляет собой сумму квадратов k независимых случайных величин с нормальным распределением.

Таким образом, распределение Хи-квадрат имеет k степеней свободы. Следовательно, распределение хи-квадрат имеет столько степеней свободы, сколько сумма квадратов нормально распределенных переменных, которые оно представляет.

$\displaystyle X\sim\chi^2_k \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \begin{array}{l}\text{Distribuci\'on chi-cuadrado}\\[2ex]\text{con k grados de libertad}\end{array}$

Распределение Хи-квадрат также известно как распределение Пирсона .

Распределение хи-квадрат широко используется в статистических выводах, например, при проверке гипотез и доверительных интервалах. Ниже мы увидим, каковы применения этого типа распределения вероятностей.

➤ См.: Характеристики распределения Хи-квадрат.

Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента — это распределение вероятностей, широко используемое в статистике. В частности, t-распределение Стьюдента используется в t-критерии Стьюдента для определения разницы между средними значениями двух выборок и установления доверительных интервалов.

Распределение Стьюдента было разработано статистиком Уильямом Сили Госсетом в 1908 году под псевдонимом «Студент».

Распределение Стьюдента определяется количеством степеней свободы, полученным путем вычитания одной единицы из общего числа наблюдений. Следовательно, формула для определения степеней свободы t-распределения Стьюдента имеет вид ν=n-1 .

$\begin{array}{c}\nu=n-1\\[2ex]X\sim t_\nu\end{array}$

➤ См.: Характеристики распределения Стьюдента.

Снедекор Ф Дистрибуция

Распределение F Снедекора , также называемое F-распределением Фишера-Снедекора или просто F-распределением , представляет собой непрерывное распределение вероятностей, используемое в статистических выводах, особенно в дисперсионном анализе.

Одним из свойств распределения Снедекора F является то, что оно определяется значением двух действительных параметров, m и n , которые указывают его степени свободы. Таким образом, символом распределения F Снедекора является F _m,n , где m и n — параметры, определяющие распределение.

$F_{m,n}\qquad m,n>0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»18″ width=»139″ style=»vertical-align: -6px;»> Математически распределение Снедекора F равно частному между одним распределением хи-квадрат и его степенями свободы, разделенному на частное между другим распределением хи-квадрат и его степенями свободы. Таким образом, формула, определяющая распределение Snedecor F, выглядит следующим образом: <p class=$ $\left.\begin{array}{c} X\sim \chi_m^2\\[2ex] Y\sim \chi_n^2\end{array}\right\}\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ F_{m,n}= \cfrac{X/m}{Y/n}$

Распределение Фишера-Снедекора F обязано своим названием английскому статистику Рональду Фишеру и американскому статистику Джорджу Снедекору.

В статистике распределение Фишера-Снедекора F имеет различные применения. Например, распределение F Фишера-Снедекора используется для сравнения различных моделей линейной регрессии, и это распределение вероятностей используется в дисперсионном анализе (ANOVA).

➤ См.: Характеристики распределения Snedecor F.

Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение — это непрерывное распределение вероятностей, используемое для моделирования времени ожидания возникновения случайного явления.

Точнее, экспоненциальное распределение позволяет нам описать время ожидания между двумя событиями, которое следует распределению Пуассона. Следовательно, экспоненциальное распределение тесно связано с распределением Пуассона.

Экспоненциальное распределение имеет характерный параметр, представленный греческой буквой λ и указывающий, сколько раз ожидаемое событие произойдет в течение заданного периода времени.

$X\sim \text{Exp}(\lambda)$

Аналогичным образом, экспоненциальное распределение также используется для моделирования времени до возникновения сбоя. Таким образом, экспоненциальное распределение имеет несколько приложений в теории надежности и выживания.

➤ См.: Характеристики показательного распределения.

Бета-распределение

Бета-распределение — это распределение вероятностей, определенное на интервале (0,1) и параметризованное двумя положительными параметрами: α и β. Другими словами, значения бета-распределения зависят от параметров α и β.

Следовательно, бета-распределение используется для определения непрерывных случайных величин, значения которых варьируются от 0 до 1.

Существует несколько обозначений, указывающих на то, что непрерывная случайная величина определяется бета-распределением. Наиболее распространенными являются:

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim Beta(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim \beta_{\alpha,\beta}\end{array}$

В статистике бета-распределение имеет очень разнообразные применения. Например, бета-распределение используется для изучения процентных изменений в разных выборках. Аналогичным образом, в управлении проектами бета-распределение используется для проведения анализа Перта.

➤ См. « Функции распространения бета-версии».

Гамма-распределение

Гамма-распределение представляет собой непрерывное распределение вероятностей, определяемое двумя характерными параметрами: α и λ. Другими словами, гамма-распределение зависит от значения двух его параметров: α — параметра формы и λ — параметра масштаба.

Символом гамма-распределения является заглавная греческая буква Γ. Итак, если случайная величина подчиняется гамма-распределению, она записывается следующим образом:

$X\sim \Gamma(\alpha,\lambda)$

Гамма-распределение также можно параметризовать с помощью параметра формы k = α и обратного параметра масштаба θ = 1/λ. Во всех случаях два параметра, определяющие гамма-распределение, являются положительными действительными числами.

Обычно гамма-распределение используется для моделирования наборов данных с перекосом вправо, поэтому в левой части графика наблюдается большая концентрация данных. Например, гамма-распределение используется для моделирования надежности электрических компонентов.

➤ См.: Характеристики гамма-распределения.

Распределение Вейбулла

Распределение Вейбулла представляет собой непрерывное распределение вероятностей, определяемое двумя характеристическими параметрами: параметром формы α и параметром масштаба λ.

В статистике распределение Вейбулла в основном используется для анализа выживаемости. Аналогично, распределение Вейбулла имеет множество приложений в различных областях.

$X\sim\text{Weibull}(\alpha,\lambda)$

По мнению авторов, распределение Вейбулла также можно параметризовать тремя параметрами. Затем добавляется третий параметр, называемый пороговым значением, который указывает абсциссу, с которой начинается график распределения.

Распределение Вейбулла названо в честь шведа Валодди Вейбулла, который подробно описал его в 1951 году. Однако распределение Вейбулла было открыто Морисом Фреше в 1927 году и впервые применено Розином и Раммлером в 1933 году.

➤ См.: Характеристики распределения Вейбулла.

Распределение Парето

Распределение Парето — это непрерывное распределение вероятностей, используемое в статистике для моделирования принципа Парето. Следовательно, распределение Парето — это распределение вероятностей, имеющее несколько значений, вероятность появления которых значительно выше остальных значений.

Помните, что закон Парето, также называемый правилом 80-20, представляет собой статистический принцип, который гласит, что большая часть причин явления связана с небольшой частью населения.

Распределение Парето имеет два характерных параметра: параметр масштаба x _m и параметр формы α.

$X\sim \text{Pareto}(\alpha,x_m)$

Первоначально распределение Парето использовалось для описания распределения богатства среди населения, поскольку большая его часть принадлежала небольшой части населения. Но в настоящее время распределение Парето имеет множество применений, например, в контроле качества, в экономике, в науке, в социальной сфере и т. д.

➤ См.: Характеристики распределения Парето.

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше