การกระจายเบต้า

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 4, 2023 ความน่าจะเป็น 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะอธิบายว่าการแจกแจงแบบเบต้าคืออะไรและใช้เพื่ออะไร ในทำนองเดียวกัน คุณจะเห็นกราฟการแจกแจงแบบเบต้าและคุณสมบัติของการแจกแจงความน่าจะเป็นประเภทนี้

การกระจายเบต้าคืออะไร?

การแจกแจงแบบเบต้า คือการแจกแจงความน่าจะเป็นที่กำหนดในช่วงเวลา (0,1) และกำหนดพารามิเตอร์ด้วยพารามิเตอร์บวกสองตัว: α และ β กล่าวอีกนัยหนึ่งค่าของการแจกแจงเบต้าขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์αและβ

ดังนั้น คุณสมบัติหลักของการแจกแจงแบบเบต้าคือสามารถควบคุมรูปร่างได้ด้วยพารามิเตอร์ α และ β นอกจากนี้ การแจกแจงแบบเบต้ายังใช้เพื่อกำหนดตัวแปรสุ่มที่มีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1

มีสัญลักษณ์หลายประการที่บ่งชี้ว่าตัวแปรสุ่มต่อเนื่องถูกควบคุมโดยการแจกแจงแบบเบต้า ลักษณะที่พบบ่อยที่สุดคือ:

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim Beta(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim \beta_{\alpha,\beta}\end{array}$

ตามสถิติแล้ว การแจกแจงแบบเบต้ามีการใช้งานที่หลากหลายมาก ตัวอย่างเช่น การแจกแจงแบบเบต้าใช้เพื่อศึกษาความแปรผันของเปอร์เซ็นต์ในกลุ่มตัวอย่างต่างๆ ในทำนองเดียวกัน ในการจัดการโครงการ การกระจายเบต้าจะใช้เพื่อทำการวิเคราะห์ Pert

แผนการกระจายเบต้า

เมื่อพิจารณาถึงคำจำกัดความของการแจกแจงแบบเบต้า ฟังก์ชันความหนาแน่นและฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบเบต้าจะแสดงไว้ด้านล่าง

ด้านล่างนี้ คุณจะเห็นว่ากราฟฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงแบบเบต้าแตกต่างกันอย่างไร โดยขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ α และ β

ในทำนองเดียวกัน ด้านล่างคุณจะเห็นการแสดงกราฟิกของความน่าจะเป็นสะสมของการแจกแจงแบบเบต้าโดยอิงตามพารามิเตอร์ α และ β

ลักษณะของการกระจายเบต้า

ในส่วนนี้เราจะดูว่าคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของการแจกแจงแบบเบต้าคืออะไร

พารามิเตอร์ α และ β ของการแจกแจงแบบเบต้าเป็นจำนวนจริงและจำนวนบวก

$\begin{array}{c}\alpha >0\\[2ex] \beta >0\end{array}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”54″ width=”44″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <ul> <li> โดเมนของการแจกแจงแบบเบต้ามีตั้งแต่ 0 ถึง 1 โดยไม่รวมค่าสุดขั้วทั้งสอง</li> </ul> <p class=$ $x\in (0,1)$

ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงแบบเบตาเท่ากับอัลฟาหารด้วยผลรวมอัลฟ่าบวกเบตา

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex] E[X]=\cfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\end{array}$

ความแปรปรวนของการแจกแจงแบบเบต้าสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex] Var(X)=\cfrac{\alpha\cdot \beta}{(\alpha+\beta+1)\cdot (\alpha+\beta)^2}\end{array}$

สำหรับค่าอัลฟ่าและเบต้าที่มากกว่า 1 คุณสามารถค้นหาโหมดการกระจายเบต้าได้อย่างง่ายดายด้วยนิพจน์ต่อไปนี้:

$Mo=\cfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\qquad \alpha,\beta>1″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”42″ width=”225″ style=”vertical-align: -16px;”></p> </p> <ul> <li> ฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงแบบเบต้ามีดังนี้:</li> </ul> <p class=$ $\displaystyle P[X=x]=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$

โดยที่ B(α,β) คือฟังก์ชันเบต้า ซึ่งกำหนดเป็น:

$\displaystyle B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx$

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นสะสมของการแจกแจงแบบเบต้าคือ:

$\displaystyle P[X\leq x]=\frac{B(x;\alpha,\beta)}{B(\alpha,\beta)}$

โดยที่ B(x;α,β) คือฟังก์ชันเบต้าที่ไม่สมบูรณ์ ซึ่งกำหนดเป็น:

$\displaystyle B(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt$

ถ้า X เป็นตัวแปรที่กำหนดโดยการแจกแจงแบบเบต้า ดังนั้น 1-X จะเป็นตัวแปรที่กำหนดโดยการแจกแจงแบบเบต้าโดยที่พารามิเตอร์อัลฟ่าและเบต้าคือพารามิเตอร์เบต้าและอัลฟ่าของการแจกแจงแบบเบต้าดั้งเดิม ตามลำดับ

$X\sim B(\alpha,\beta) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ 1-X\sim B(\beta,\alpha)$

หากพารามิเตอร์อัลฟ่าและเบต้าของการแจกแจงแบบเบต้ามีค่าเท่ากับ 1 ทั้งคู่ การแจกแจงจะเทียบเท่ากับการแจกแจงแบบสม่ำเสมอของพารามิเตอร์ 0 และ 1

$X\sim B(1,1) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ X\sim U(0,1)$

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม

การกระจายเบต้าคืออะไร?

แผนการกระจายเบต้า

ลักษณะของการกระจายเบต้า

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

เพิ่มความคิดเห็น