การกระจายเบอร์นูลลี

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 4, 2023 ความน่าจะเป็น 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะอธิบายว่าการแจกแจงแบบแบร์นูลลีคืออะไรและมีสูตรอะไร นอกจากนี้ คุณจะพบคุณสมบัติของการแจกแจงแบบแบร์นูลลีและแบบฝึกหัดแก้ไขเพื่อให้เข้าใจความหมายของมันได้ดียิ่งขึ้น

การกระจายเบอร์นูลลีคืออะไร?

การแจกแจงแบบแบร์นูลลี หรือที่เรียกว่า การแจกแจงแบบแบ่งขั้ว เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่แสดงถึงตัวแปรแยกที่สามารถมีผลลัพธ์ได้เพียง 2 รายการเท่านั้น ได้แก่ “ความสำเร็จ” หรือ “ความล้มเหลว”

ในการแจกแจงแบบแบร์นูลลี “ความสำเร็จ” คือผลลัพธ์ที่เราคาดหวังและมีค่าเท่ากับ 1 ในขณะที่ผลลัพธ์ของ “ความล้มเหลว” คือผลลัพธ์อื่นนอกเหนือจากที่คาดหวังไว้และมีค่าเป็น 0 ดังนั้น หากความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของ “ ความสำเร็จ” คือ p ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของ “ความล้มเหลว” คือ q=1-p

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

การแจกแจงแบบเบอร์นูลลีตั้งชื่อตามนักสถิติชาวสวิส เจค็อบ เบอร์นูลลี

ในทางสถิติ การแจกแจงแบบแบร์นูลลีส่วนใหญ่มีการใช้งานเพียงอย่างเดียว นั่นคือ การกำหนดความน่าจะเป็นของการทดลองซึ่งมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียงสองอย่างเท่านั้น: สำเร็จและล้มเหลว ดังนั้น การทดลองที่ใช้การแจกแจงแบบแบร์นูลลีจึงเรียกว่าการทดสอบแบบเบอร์นูลลี หรือการทดลองแบบเบอร์นูลลี

สูตรการกระจายเบอร์นูลลี

ถ้า p คือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของ “ความสำเร็จ” ที่เกิดขึ้น ความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบแบร์นูลลีจะเท่ากับ p ยกกำลัง x คูณด้วย 1-p เพิ่มขึ้นเป็น 1-x ดังนั้น ความน่าจะเป็นของการแจกแจงเบอร์นูลลีสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้ :

โปรดทราบว่าในการแจกแจงแบบแบร์นูลลี ค่า x ต้องเป็น 0 (ล้มเหลว) หรือ 1 (สำเร็จ) เท่านั้น

ในทางกลับกัน สูตรก่อนหน้านี้สามารถเขียนได้โดยใช้นิพจน์ที่เทียบเท่าต่อไปนี้:

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.$

ตัวอย่างการแจกแจงเบอร์นูลลี

ตอนนี้เรารู้คำจำกัดความของการแจกแจงแบบเบอร์นูลีและสูตรของมันแล้ว เรามาดูตัวอย่างที่ชัดเจนของการแจกแจงแบบเบอร์นูลีกัน

ในการชนะเกม ผู้เล่นจะต้องทอยลูกเต๋าและได้รับ 2 มิฉะนั้นผู้เล่นคนอื่นจะชนะเกม ดังนั้นเกมจะแพ้ คำนวณความน่าจะเป็นของความสำเร็จและความล้มเหลว

ลูกเต๋ามีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้หกแบบ (1, 2, 3, 4, 5, 6) ดังนั้นในกรณีนี้ พื้นที่ตัวอย่างของการทดสอบคือ:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

ในกรณีของเรา กรณีเดียวของความสำเร็จคือการได้เลข 2 ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จเมื่อใช้กฎของลาปลาซจะเท่ากับ 1 หารด้วยจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด (6):

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

ในทางกลับกัน หากตัวเลขอื่นปรากฏขึ้นเมื่อทอยลูกเต๋า ผลการทดสอบจะถือว่าล้มเหลว เนื่องจากผู้เล่นจะแพ้ในเกม ดังนั้น ความน่าจะเป็นนี้จึงเท่ากับ 1 ลบความน่าจะเป็นที่คำนวณไว้ก่อนหน้านี้:

$q=1-p=1-\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}=0,8333$

กล่าวโดยสรุป การแจกแจงแบบแบร์นูลลีของการทดลองนี้ถูกกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้:

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}\cfrac{5}{6} & \text{si } x=0\\[4ex]\cfrac{1}{6} & \text{si } x=1\end{array}\right.$

ดังที่คุณเห็นด้านล่าง ความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบแบร์นูลลีสามารถพบได้โดยใช้สูตรที่เห็นด้านบน:

$P[X=x]=p^x\cdot (1-p)^{1-x}$

$\displaystyle P[X=0]=\left(\frac{1}{6}\right)^0\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-0}=\cfrac{5}{6}$

$\displaystyle P[X=1]=\left(\frac{1}{6}\right)^1\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-1}=\cfrac{1}{6}$

ลักษณะเฉพาะของการแจกแจงเบอร์นูลลี

ด้านล่างนี้เป็นคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของการแจกแจงแบบเบอร์นูลลี

การแจกแจงแบบแบร์นูลลีสามารถรับค่าได้เพียง 1 (สำเร็จ) หรือ 0 (ล้มเหลว)

$x=\{0\ ; 1\}$

ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงเบอร์นูลีเท่ากับความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์ “ความสำเร็จ” จะเกิดขึ้น

$E[X]=p$

ความแปรปรวนของการแจกแจงแบบแบร์นูลลีสามารถคำนวณได้โดยการคูณความน่าจะเป็นของการเกิดผลลัพธ์ “ความสำเร็จ” และ “ความล้มเหลว” หรือเทียบเท่ากัน ความแปรปรวนคือ p คูณ 1-p

$Var(X)=p\cdot q=p\cdot (1-p)$

ค่าของรูปแบบการแจกแจงแบบแบร์นูลลีขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นของ “ความสำเร็จ” และ “ความล้มเหลว” ดังนั้นโหมดของการแจกแจงประเภทนี้จึงถูกกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้:

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle Mo=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } q>p\\[2ex]0 \ ;1 & \text{si } q=p\\[2ex] 1 & \text{si } q<ul><li> The formula for the probability function of a Bernoulli distribution is as follows:</li></ul>[latex] \displaystyle P[X=x]= \left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \displaystyle
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...> The formula for the probability function
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.
leading text: \end{document}
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Emergency stop.

ในทางกลับกัน ฟังก์ชันความน่าจะเป็นสะสมของการแจกแจงเบอร์นูลลีถูกกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้:

$\displaystyle P[X\leq x]=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } x<0\\[2ex]1-p& \text{si }0 \leq x<1\\[2ex]1 & \text{si } x\geq 1\end{array}\right.$

ค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของการแจกแจงเบอร์นูลลีคำนวณโดยใช้นิพจน์ต่อไปนี้:

$A=\cfrac{q-p}{\sqrt{p\cdot q}}$

ในทำนองเดียวกัน ความโด่งของการแจกแจงแบบแบร์นูลลีขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์ p และสามารถพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

$C=\cfrac{3p^2-3p+1}{p(1-p)}$

การแจกแจงแบบเบอร์นูลลีและการแจกแจงแบบทวินาม

ในส่วนนี้ เราจะเห็นความแตกต่างระหว่างการแจกแจงแบบแบร์นูลลีและการแจกแจงแบบทวินาม เนื่องจากเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกันสองประเภท

การแจกแจงแบบทวินาม จะนับจำนวนผลลัพธ์ที่ “สำเร็จ” ที่ได้รับจากชุดการทดลองเบอร์นูลลี การทดลองเบอร์นูลลีเหล่านี้ต้องเป็นอิสระจากกัน แต่ต้องมีความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จเท่ากัน

ดังนั้น การแจกแจงแบบทวินามคือผลรวมของชุดตัวแปรที่ตามหลังการแจกแจงแบบแบร์นูลลี ซึ่ง ทั้งหมดกำหนดโดยพารามิเตอร์เดียวกัน p

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\displaystyle \sum_{i=1}^nX_i\sim \text{Bin}(n,p)\end{array}$

ดังนั้นในการแจกแจงแบบเบอร์นูลลีจึงมีการทดลองแบบเบอร์นูลลีเพียงครั้งเดียว ในขณะที่การแจกแจงแบบทวินามจะมีลำดับของการทดลองแบบเบอร์นูลลี

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม