ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการกระจายตัวแบบไฮเปอร์เรขาคณิต

การกระจายแบบไฮเปอร์เรขาคณิต อธิบายความน่าจะเป็นในการเลือกวัตถุ k ที่มีคุณสมบัติบางอย่างในการดึง n โดยไม่มีการแทนที่ จากประชากรที่มีขอบเขตจำกัดขนาด N ซึ่งมีวัตถุ K ที่มีคุณสมบัตินี้

หาก ตัวแปรสุ่ม X เป็นไปตามการแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมตริก ความน่าจะเป็นในการเลือกวัตถุ k ที่มีคุณสมบัติบางอย่างสามารถพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

P(X=k) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n

ทอง:

• N: ขนาดประชากร
• K: จำนวนวัตถุในประชากรที่มีคุณสมบัติบางอย่าง
• n: ขนาดตัวอย่าง
• k: จำนวนออบเจ็กต์ในตัวอย่างที่มีฟังก์ชันการทำงานบางอย่าง
• _K C _k : จำนวนการรวมกันของ K สิ่งที่ได้รับ k ในแต่ละครั้ง

ตัวอย่างเช่น มี 4 ควีนในสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบ สมมติว่าเราสุ่มเลือกไพ่หนึ่งใบจากสำรับ จากนั้นสุ่มเลือกไพ่ใบอื่นจากสำรับโดยไม่ต้องเปลี่ยนใหม่ ความน่าจะเป็นที่ไพ่ทั้งสองใบเป็นควีนส์เป็นเท่าไหร่?

เพื่อตอบคำถามนี้ เราสามารถใช้การแจกแจงแบบไฮเปอร์เรขาคณิตด้วยพารามิเตอร์ต่อไปนี้:

• N: ขนาดประชากร = 52 ใบ
• K: จำนวนวัตถุในประชากรที่มีลักษณะเฉพาะ = 4 ควีน
• n: ขนาดตัวอย่าง = 2 งวด
• k: จำนวนวัตถุในกลุ่มตัวอย่างที่มีลักษณะเฉพาะ = 2 ควีน

เมื่อแทนตัวเลขเหล่านี้ลงในสูตร เราพบว่าความน่าจะเป็นคือ:

P(X=2) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n = ₄ C ₂ ( _52-4 C _2-2 ) / ₅₂ C ₂ = 6*1/ 1326 = 0.00452 .

สิ่งนี้ควรสมเหตุสมผล หากคุณจินตนาการว่าจั่วไพ่สองใบจากสำรับ ทีละใบ ความน่าจะเป็นที่ไพ่ ทั้งสอง ใบจะเป็นควีนส์น่าจะต่ำมาก

คุณสมบัติของการกระจายตัวแบบไฮเปอร์เรขาคณิต

การกระจายแบบไฮเปอร์เรขาคณิตมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงคือ (nK) / N

ความแปรปรวนของการแจกแจงคือ (nK)(NK)(Nn) / (N ² (n-1))

ปัญหาการฝึกการกระจายไฮเปอร์เรขาคณิต

ใช้แบบฝึกหัดแก้ปัญหาต่อไปนี้เพื่อทดสอบความรู้เกี่ยวกับการแจกแจงแบบไฮเปอร์เรขาคณิต

หมายเหตุ: เราจะใช้ เครื่องคำนวณการกระจายแบบไฮเปอร์เรขาคณิต เพื่อคำนวณคำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้

ปัญหาที่ 1

คำถาม: สมมติว่าเราสุ่มเลือกไพ่สี่ใบจากสำรับโดยไม่เปลี่ยนไพ่เหล่านั้น ความน่าจะเป็นที่ไพ่สองใบเป็นควีนส์เป็นเท่าไหร่?

เพื่อตอบคำถามนี้ เราสามารถใช้การแจกแจงแบบไฮเปอร์เรขาคณิตด้วยพารามิเตอร์ต่อไปนี้:

• N: ขนาดประชากร = 52 ใบ
• K: จำนวนวัตถุในประชากรที่มีลักษณะเฉพาะ = 4 ควีน
• n: ขนาดตัวอย่าง = 4 งวด
• k: จำนวนวัตถุในกลุ่มตัวอย่างที่มีลักษณะเฉพาะ = 2 ควีน

เมื่อเสียบตัวเลขเหล่านี้เข้ากับเครื่องคำนวณการกระจายตัวแบบไฮเปอร์เรขาคณิต เราจะพบว่าความน่าจะเป็นคือ 0.025

ปัญหาที่ 2

คำถาม: โกศประกอบด้วยลูกบอลสีแดง 3 ลูก และลูกบอลสีเขียว 5 ลูก คุณสุ่มเลือก 4 ลูก ความน่าจะเป็นที่คุณจะเลือกลูกบอลสีแดง 2 ลูกพอดีคือเท่าใด

เพื่อตอบคำถามนี้ เราสามารถใช้การแจกแจงแบบไฮเปอร์เรขาคณิตด้วยพารามิเตอร์ต่อไปนี้:

• N: ขนาดประชากร = 8 ลูก
• K: จำนวนสิ่งของในประชากรที่มีลักษณะเฉพาะ = ลูกบอลสีแดง 3 ลูก
• n: ขนาดตัวอย่าง = 4 งวด
• k: จำนวนวัตถุในกลุ่มตัวอย่างที่มีลักษณะเฉพาะ = ลูกบอลสีแดง 2 ลูก

เมื่อเสียบตัวเลขเหล่านี้เข้ากับเครื่องคำนวณการกระจายตัวของไฮเปอร์เรขาคณิต เราจะพบว่าความน่าจะเป็นคือ 0.42857

ปัญหา 3

คำถาม: ตะกร้าประกอบด้วยลูกหินสีม่วง 7 ลูก และลูกหินสีชมพู 3 ลูก คุณสุ่มเลือกลูกหิน 6 ลูก ความน่าจะเป็นที่คุณจะเลือกลูกหินสีชมพู 3 ลูกพอดีคือเท่าใด

เพื่อตอบคำถามนี้ เราสามารถใช้การแจกแจงแบบไฮเปอร์เรขาคณิตด้วยพารามิเตอร์ต่อไปนี้:

• N: ขนาดประชากร = 10 ลูกหิน
• K: จำนวนสิ่งของในประชากรที่มีลักษณะเฉพาะ = ลูกบอลสีชมพู 3 ลูก
• n: ขนาดตัวอย่าง = 6 งวด
• k: จำนวนวัตถุในกลุ่มตัวอย่างที่มีลักษณะเฉพาะ = ลูกบอลสีชมพู 3 ลูก

เมื่อเสียบตัวเลขเหล่านี้เข้ากับเครื่องคำนวณการกระจายตัวแบบไฮเปอร์จีโอเมตริก เราจะพบว่าความน่าจะเป็นคือ 0.16667