ค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตร

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 5, 2023 สถิติ 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะอธิบายว่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรคืออะไร วิธีคำนวณ และวิธีตีความ คุณจะค้นพบวิธีการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรสามประเภทที่ใช้บ่อยที่สุดในสถิติโดยเป็นรูปธรรม

ค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรคืออะไร?

ในสถิติ ค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตร คือค่าสัมประสิทธิ์ที่ช่วยให้คุณสามารถคำนวณความไม่สมดุลของการแจกแจงได้ นั่นคือ ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ใช้เพื่อกำหนดว่าฟังก์ชันนั้นเบ้ในเชิงบวก เบ้ในเชิงลบ หรือสมมาตร

ค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรสามารถเรียกได้ว่า เป็นดัชนีความไม่สมมาตร

โปรดทราบว่าความเบ้ของการแจกแจงขึ้นอยู่กับรูปร่างของเส้นโค้ง ดังนั้นความไม่สมมาตรประเภทต่าง ๆ คือ:

ความเบ้เชิงบวก : การแจกแจงมีค่าที่แตกต่างกันไปทางขวาของค่าเฉลี่ยมากกว่าทางซ้าย
ความเบ้เชิงลบ : การแจกแจงมีค่าที่แตกต่างกันทางด้านซ้ายของค่าเฉลี่ยมากกว่าทางด้านขวา
สมมาตร : การแจกแจงมีจำนวนค่าทางซ้ายเท่ากับค่าทางขวาของค่าเฉลี่ย

โดยทั่วไปแล้ว สัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรจะใช้สามประเภทขึ้นอยู่กับแต่ละกรณี ได้แก่ สัมประสิทธิ์ฟิชเชอร์ สัมประสิทธิ์เพียร์สัน และสัมประสิทธิ์โบว์ลีย์ วิธีคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้แต่ละประเภทมีรายละเอียดอธิบายไว้ด้านล่าง

สัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของฟิชเชอร์

ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของฟิชเชอร์เท่ากับโมเมนต์ที่สามเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยหารด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง ดังนั้น สูตรสำหรับสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของฟิชเชอร์ คือ:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

ในทำนองเดียวกัน สามารถใช้สูตรใดสูตรหนึ่งจากสองสูตรต่อไปนี้ในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ฟิชเชอร์ได้:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

ทอง

$E$

คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

$\mu$

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

$\sigma$

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและ

$N$

จำนวนข้อมูลทั้งหมด

ในทางกลับกัน หากข้อมูลถูกจัดกลุ่ม คุณสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

ในกรณีนี้.

$x_i$

มันเป็นเครื่องหมายของชั้นเรียนและ

$f_i$

ความถี่สัมบูรณ์ของหลักสูตร

เมื่อคำนวณค่าแล้ว การตีความค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของฟิชเชอร์จะเป็นดังนี้:

ถ้าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของฟิชเชอร์เป็นค่าบวก การกระจายตัวก็จะเบ้ไปในทางบวก
หากค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของฟิชเชอร์เป็นลบ การกระจายตัวก็จะเบ้ในทางลบ
ถ้าการกระจายตัวเป็นแบบสมมาตร สัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของฟิชเชอร์จะเท่ากับศูนย์ สิ่งที่ตรงกันข้าม ไม่เป็นความจริง หมายความว่าข้อเท็จจริงที่ว่าสัมประสิทธิ์ฟิชเชอร์เป็นศูนย์ไม่ได้หมายความว่าการกระจายตัวจะสมมาตรเสมอไป

สัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของเพียร์สัน

ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของเพียร์สันเท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยตัวอย่างและโหมดหารด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (หรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน) สูตรสำหรับสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของเพียร์สัน จึงเป็นดังนี้:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

ทอง

$A_p$

คือสัมประสิทธิ์เพียร์สัน

$\mu$

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

$Mo$

แฟชั่นและ

$\sigma$

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

โปรดทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของเพียร์สันสามารถคำนวณได้เฉพาะในกรณีที่เป็นการแจกแจงแบบ Unimodal เท่านั้น กล่าวคือ หากมีโหมดเดียวในข้อมูล

ในหนังสือสถิติบางเล่ม ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของเพียร์สันคำนวณโดยใช้ค่ามัธยฐานแทนโหมด แต่โดยทั่วไปจะใช้สูตรข้างต้น

เมื่อคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของเพียร์สันแล้ว ค่าของมันจะต้องถูกตีความตามกฎต่อไปนี้:

หากค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของเพียร์สันเป็นค่าบวก แสดงว่าการกระจายตัวมีความเบ้ในเชิงบวก
หากค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของเพียร์สันเป็นลบ แสดงว่าการกระจายนั้นเบ้ในเชิงลบ
หากค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของเพียร์สันเป็นศูนย์ แสดงว่าการกระจายมีความสมมาตร

สัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของโบว์ลีย์

ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของ Bowley เท่ากับผลรวมของควอไทล์ที่สามบวกควอร์ไทล์ที่ 1 ลบด้วยค่ามัธยฐาน 2 เท่า หารด้วยผลต่างระหว่างควอร์ไทล์ที่ 3 และควอไทล์ที่ 1 สูตรสำหรับสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรนี้จึงเป็นดังนี้:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

ทอง

$Q_1$

และ

$Q_3$

เหล่านี้คือควอไทล์ที่หนึ่งและสามตามลำดับและ

$Me$

คือค่ามัธยฐานของการกระจายตัว

จำไว้ว่าค่ามัธยฐานของการแจกแจงตรงกับควอร์ไทล์ที่ 2

➤ ดู: วิธีค้นหาควอไทล์

การตีความค่าสัมประสิทธิ์ Bowley ทำได้ในลักษณะเดียวกับค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรสองประเภทก่อนหน้านี้:

หากค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของ Bowley เป็นบวก การกระจายตัวก็จะเบ้ไปในทางบวก
หากค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของ Bowley เป็นลบ การกระจายตัวก็จะเบ้ในเชิงลบ
ถ้าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของ Bowley เป็นศูนย์ การกระจายตัวจะสมมาตร

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม