ตัวประมาณค่า

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 3, 2023 สถิติ 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะอธิบายว่าตัวประมาณค่าในสถิติคืออะไร และคุณสมบัติของตัวประมาณค่าที่ดีมีอะไรบ้าง นอกจากนี้ คุณจะสามารถดูตัวอย่างตัวประมาณค่าและการประมาณค่าประเภทต่างๆ ที่มีอยู่ในสถิติได้

ตัวประมาณค่าคืออะไร?

ในสถิติ ตัวประมาณ คือสถิติที่ใช้ในการประมาณค่าของพารามิเตอร์ประชากร กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวประมาณค่าใช้ในการประมาณค่าพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักของประชากร

ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยตัวอย่างคือค่าประมาณของค่าเฉลี่ยประชากร ดังนั้นคุณจึงสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่างและใช้ค่านี้เป็นค่าประมาณของค่าเฉลี่ยประชากรได้

ตัวประมาณค่าการสุ่มตัวอย่างเป็นเรื่องธรรมดามากในสถิติ เนื่องจากโดยปกติแล้วองค์ประกอบทั้งหมดของประชากรจะไม่ทราบ ดังนั้น จึงไม่สามารถคำนวณพารามิเตอร์ทางสถิติของประชากรได้ จากนั้น เลือกตัวอย่างแบบสุ่มและกำหนดการวัดทางสถิติของกลุ่มตัวอย่าง จากนั้นจึงสามารถประมาณพารามิเตอร์ประชากรได้ โดยขึ้นอยู่กับการคำนวณ

ลักษณะของตัวประมาณค่าที่ดี

เมื่อเราได้เห็นคำจำกัดความของตัวประมาณแล้ว เรามาดูกันว่านักประมาณที่ดีต้องมีคุณลักษณะอะไรจึงจะเข้าใจแนวคิดได้ดีขึ้น

ไม่เอนเอียง : ตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงคือค่าตัวอย่างที่มีค่าเท่ากับค่าประชากร ดังนั้น ยิ่งมีอคติของตัวประมาณค่ามากเท่าใด ความเที่ยงตรงก็จะน้อยลงเท่านั้น นี่คือเหตุผลที่เราต้องการให้ค่าอคติของตัวประมาณค่าจุดมีค่าน้อย เพื่อให้ความแตกต่างระหว่างค่าตัวประมาณค่าจุดและค่าจริงใกล้เคียงกับศูนย์มากที่สุด
ความสอดคล้อง : ตัวประมาณค่าที่สอดคล้องกันคือตัวประมาณค่าที่เมื่อขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้น ค่าของมันจะเข้าใกล้ค่าจริงของพารามิเตอร์ ดังนั้น ยิ่งขนาดตัวอย่างใหญ่ขึ้น การประมาณการก็จะยิ่งดีขึ้นเท่านั้น
ประสิทธิภาพ : ยิ่งความแปรปรวนของการกระจายตัวตัวอย่างของตัวประมาณค่าจุดมีค่าน้อยลง ประสิทธิภาพของตัวประมาณค่าจุดก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ดังนั้นเราจึงต้องการให้ตัวประมาณค่าจุดมีประสิทธิภาพเพื่อให้ความแปรปรวนมีน้อย ดังนั้น หากเราพึ่งพาคุณลักษณะนี้เพียงอย่างเดียว ระหว่างตัวประมาณค่าสองจุด เราจะเลือกตัวประมาณที่มีประสิทธิภาพสูงสุด (หรือความแปรปรวนต่ำสุด) เสมอ
ความคงทน : ตัวประมาณค่าที่มีประสิทธิภาพคือตัวประมาณค่าที่ในกรณีที่มีการปรับเปลี่ยนสมมติฐานเริ่มต้นบางส่วน ผลลัพธ์ของการประมาณค่าจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างมีนัยสำคัญ
ความเพียงพอ : ตัวประมาณค่าก็เพียงพอแล้วหากสรุปข้อมูลที่เกี่ยวข้องทั้งหมดเกี่ยวกับตัวอย่างในการประมาณค่า โดยไม่มีตัวประมาณค่าอื่นใดที่สามารถให้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับพารามิเตอร์ประชากรโดยประมาณได้ ดังนั้น ตัวประมาณค่าตัวเดียวก็เพียงพอแล้วเมื่อเป็นสถิติที่ดีที่สุดที่สามารถเลือกใช้ในการประมาณค่าพารามิเตอร์ประชากรได้

ตัวอย่างของตัวประมาณค่า

บ่อยครั้งที่มีการใช้ตัวประมาณค่าตัวอย่างต่อไปนี้เป็นค่าประมาณของพารามิเตอร์ประชากร

การประมาณค่าแบบจุดของค่าเฉลี่ยประชากรคือค่าของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่าง โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์นี้
$\overline{x}$

เพื่อแสดงค่าของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ในขณะที่สัญลักษณ์ของค่าเฉลี่ยประชากรคือตัวอักษรกรีก µ

$\overline{x}=\mu$

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (หรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน) ของประชากรสามารถประมาณได้อย่างแม่นยำด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรจะแสดงด้วยตัวอักษรกรีก σ และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างจะแสดงด้วยตัวอักษร s

$s=\sigma$

สัดส่วนของประชากรสามารถประมาณได้ด้วยวิธีเฉพาะโดยใช้ค่าสัดส่วนตัวอย่าง สัญลักษณ์สัดส่วนประชากรคือตัวอักษร py ในขณะที่สัญลักษณ์สัดส่วนตัวอย่างคือ
$\widehat{p}.$

$\widehat{p}=p$

ตัวประมาณค่าและการประมาณการ

ตามที่อธิบายไว้ตลอดบทความ ตัวประมาณค่าใช้ในการประมาณค่าพารามิเตอร์ประชากร อย่างไรก็ตาม ควรจำไว้ว่าการประมาณค่ามีสองประเภท:

การประมาณค่าจุด : ประกอบด้วยการนำค่าตัวอย่างของพารามิเตอร์มาประมาณค่าประชากร
การประมาณค่าช่วง : เกี่ยวข้องกับการประมาณค่าของพารามิเตอร์ประชากรในช่วงเวลาหนึ่ง แทนที่จะเป็นค่าเฉพาะ ดังนั้นในการประมาณค่าประเภทนี้ จึงมีการคำนวณช่วงเวลาโดยความน่าจะเป็นที่ค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์จะอยู่ภายในช่วงเวลานั้นสูงมาก

การประมาณการแต่ละประเภทมีข้อดีและข้อเสียแตกต่างกัน และการใช้การประมาณแบบจุดหรือช่วงจะเป็นประโยชน์มากกว่า ขึ้นอยู่กับแต่ละกรณี หากต้องการข้อมูลเพิ่มเติม คุณสามารถค้นหาบทความที่เกี่ยวข้องของเราในเครื่องมือค้นหาของไซต์นี้

ข้อผิดพลาดของตัวประมาณค่า

ในทางปฏิบัติ การประมาณค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์เป็นเรื่องยากมาก ซึ่งเป็นสาเหตุที่มักมีข้อผิดพลาดในการประมาณค่า ตามหลักเหตุผลแล้ว เราต้องพยายามลดข้อผิดพลาดในการประมาณค่าให้เหลือน้อยที่สุด

ดังนั้นเราจึงกำหนดข้อผิดพลาดของตัวประมาณค่าความแตกต่างระหว่างค่าประมาณกับค่าจริงของพารามิเตอร์

$e=\widehat{\theta}-\theta$

ทอง

$\widehat{\theta}$

คือมูลค่าของการประมาณการและ

$\theta$

คือค่าจริงของพารามิเตอร์

คุณยังสามารถคำนวณค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ย (MSE) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของข้อผิดพลาดกำลังสองได้ ควรสังเกตว่าค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยแสดงถึงความแปรปรวนของตัวประมาณค่า

$\displaystyle ECM=\cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(\widehat{\theta}-\theta \right)^2$

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม