การแจกแจงทวินามและการกระจายตัวทางเรขาคณิต: ความเหมือนและความแตกต่าง

การแจกแจงที่ใช้กันทั่วไปสองแบบในสถิติคือ การแจกแจงแบบทวินาม และ การ แจกแจงทางเรขาคณิต

บทช่วยสอนนี้ให้คำอธิบายโดยย่อของการแจกแจงแต่ละครั้ง รวมถึงความเหมือนและความแตกต่างระหว่างทั้งสอง

การแจกแจงแบบทวินาม

การแจกแจงแบบทวินาม อธิบายถึงความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จ k ครั้งใน การทดลองทวินาม n ครั้ง

หาก ตัวแปรสุ่ม X เป็นไปตามการแจกแจงแบบทวินาม ความน่าจะเป็นที่ X = k สำเร็จจะพบได้จากสูตรต่อไปนี้:

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

ทอง:

• n: จำนวนการทดลอง
• k: จำนวนความสำเร็จ
• p: ความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จในการทดลองที่กำหนด
• _n C _k : จำนวนวิธีในการได้รับ k ความสำเร็จในการทดลอง n ครั้ง

เช่น สมมุติว่าเราโยนเหรียญ 3 ครั้ง เราสามารถใช้สูตรด้านบนเพื่อกำหนดความน่าจะเป็นที่จะได้หัว 0 ในระหว่างการพลิกทั้ง 3 ครั้ง:

P(X=0) = ₃ C ₀ * 0.5 ⁰ * (1-0.5) ^3-0 = 1 * 1 * (0.5) ³ = 0.125

การกระจายตัวทางเรขาคณิต

การกระจายทางเรขาคณิต อธิบายถึงความน่าจะเป็นที่จะประสบความล้มเหลวจำนวนหนึ่งก่อนที่จะประสบความสำเร็จครั้งแรกในการทดลองทวินามชุดหนึ่ง

หาก ตัวแปรสุ่ม X เป็นไปตามการแจกแจงทางเรขาคณิต ความน่าจะเป็นที่จะประสบความล้มเหลว k ก่อนที่จะประสบความสำเร็จครั้งแรกสามารถหาได้จากสูตรต่อไปนี้:

P(X=k) = (1-p) ^kp

ทอง:

• k: จำนวนความล้มเหลวก่อนความสำเร็จครั้งแรก
• p: ความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จในแต่ละการทดลอง

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราต้องการทราบว่าเราต้องพลิกเหรียญยุติธรรมกี่ครั้งจนกว่าเหรียญจะขึ้นหัว เราสามารถใช้สูตรด้านบนเพื่อกำหนดความน่าจะเป็นที่จะ “พลาด” 3 ครั้งก่อนที่เหรียญจะตกหัวในที่สุด:

ป(X=3) = (1-0.5) ³ (0.5) = 0.0625

ความเหมือนและความแตกต่าง

การแจกแจงทวินามและเรขาคณิต มีความคล้ายคลึง กันดังต่อไปนี้:

• ผลการทดลองในการแจกแจงทั้งสองแบบสามารถจำแนกได้ว่าเป็น “ความสำเร็จ” หรือ “ความล้มเหลว”
• ความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จจะเท่ากันสำหรับการทดลองแต่ละครั้ง
• การทดสอบแต่ละครั้งมีความเป็นอิสระ

การแจกแจงมี ความแตกต่าง ที่สำคัญดังต่อไปนี้:

• ในการแจกแจงแบบทวินาม มีจำนวนการทดลองที่แน่นอน (เช่น โยนเหรียญ 3 ครั้ง)
• ในการแจกแจงทางเรขาคณิต เราสนใจในจำนวนครั้งที่จำเป็น จนกว่า เราจะประสบความสำเร็จ (เช่น เราจะต้องพลิกกลับกี่ครั้งจึงจะเห็น Tails)

ประเด็นในทางปฏิบัติ: เมื่อใดจึงควรใช้การแจกแจงแต่ละครั้ง

ในแต่ละโจทย์ฝึกหัดต่อไปนี้ ให้พิจารณาว่าตัวแปรสุ่มเป็นไปตามการแจกแจงแบบทวินามหรือการแจกแจงทางเรขาคณิต

ปัญหาที่ 1: ทอยลูกเต๋า

เจสสิก้าเล่นเกมแห่งโชคโดยเธอยังคงทอยลูกเต๋าต่อไปจนกระทั่งเลข 4 ให้ X เป็นจำนวนครั้งที่โยนจนกระทั่งเลข 4 ปรากฏขึ้น ตัวแปรสุ่ม X เป็นไปตามการแจกแจงแบบใด

คำตอบ : การทดสอบ.

ปัญหาที่ 2: การยิงลูกโทษ

ไทเลอร์ทำ 80% ของการโยนโทษทั้งหมดที่เขาพยายาม สมมติว่าเขาโยนโทษ 10 ครั้ง ให้ X เป็นจำนวนครั้งที่ไทเลอร์สร้างตะกร้าในความพยายาม 10 ครั้ง ตัวแปรสุ่ม X เป็นไปตามการแจกแจงแบบใด

คำตอบ :

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

เครื่องคำนวณการกระจายทวินาม
เครื่องคำนวณการกระจายทางเรขาคณิต