กฎของจำนวนมาก

ในบทความนี้ เราจะอธิบายว่ากฎของจำนวนมากคืออะไร และใช้เพื่ออะไรในด้านความน่าจะเป็นและสถิติ คุณยังจะได้เห็นตัวอย่างการประยุกต์ใช้กฎจำนวนมาก และความสัมพันธ์ระหว่างกฎข้อนี้กับทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางคืออะไร

กฎของจำนวนมากคืออะไร?

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น กฎของจำนวนมาก เป็นกฎที่อธิบายผลลัพธ์ของการกระทำจำนวนมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งกฎของจำนวนมากบอกว่าค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ที่ได้จากการทดลองจำนวนมากจะใกล้เคียงกับค่าที่คาดหวัง

นอกจากนี้ ตามกฎของจำนวนจำนวนมาก ยิ่งเราทำการทดลองมากเท่าใด ผลลัพธ์ก็จะใกล้เคียงกับค่าที่คาดหวังมากขึ้นเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น ถ้าเราโยนเหรียญห้าครั้ง เราจะได้หัวเพียงครั้งเดียวเท่านั้น (20%) อย่างไรก็ตาม หากโยนเหรียญหลายครั้ง (มากกว่า 1,000 ครั้ง) ผลลัพธ์เกือบครึ่งหนึ่งจะเป็นหัว (50%) เนื่องจากนี่คือมูลค่าที่คาดหวัง นี่คือตัวอย่างกฎแห่งจำนวนมาก

ต้นกำเนิดของกฎจำนวนมากพบในศตวรรษที่ 16 กับเจอโรลาโม คาร์ดาโน อย่างไรก็ตาม นักเขียนหลายคนได้มีส่วนร่วมในการพัฒนากฎสถิตินี้ตลอดประวัติศาสตร์: แบร์นูลลี, ปัวซอง, เชบีเชฟ, มาร์คอฟ, โบเรล, คันเตลลี, โคลโมโกรอฟ และคินชิน

ตัวอย่างกฎจำนวนมาก

หลังจากเห็นคำจำกัดความของกฎจำนวนมากแล้ว เราจะเห็นตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมเพื่อให้เข้าใจความหมายของกฎได้ดีขึ้น ในกรณีนี้ เราจะวิเคราะห์ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ที่เราจะได้รับจากการทอยลูกเต๋า

มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้หกประการเมื่อทอยลูกเต๋า (1, 2, 3, 4, 5 และ 6) ดังนั้นความน่าจะเป็นทางทฤษฎีของแต่ละเหตุการณ์เบื้องต้นคือ:

ดังนั้นเราจะจำลองการปล่อยหลายครั้งและบันทึกผลลัพธ์ลงใน ตารางความถี่ เพื่อตรวจสอบว่าเป็นไปตามกฎที่มีจำนวนมากหรือไม่

เพื่อให้คุณเห็นความสำคัญของจำนวนการทดลองที่ดำเนินการ ขั้นแรกเราจะจำลองการเปิดตัวสิบครั้ง จากนั้นจึงจำลองเป็นร้อยและสุดท้ายก็พันครั้ง ดังนั้นผลลัพธ์ที่ได้จากการจำลองการสุ่มทอยลูกเต๋า 10 ลูกจึงเป็นดังนี้

อย่างที่คุณเห็น ความน่าจะเป็นความถี่ที่ได้จากการจำลองการพ่นเพียงสิบครั้งนั้นไม่เหมือนกับความน่าจะเป็นทางทฤษฎี

แต่เมื่อเราเพิ่มจำนวนการทดสอบ เมตริกทั้งสองนี้จะคล้ายกันมากขึ้น ดูที่การจำลองการเปิดตัว 100 ครั้ง:

ตอนนี้ความน่าจะเป็นความถี่ที่คำนวณสำหรับแต่ละตัวเลขบนแม่พิมพ์มีความคล้ายคลึงกับความน่าจะเป็นทางทฤษฎีมากกว่า อย่างไรก็ตาม เรายังคงได้ค่าที่แตกต่างกันมาก

สุดท้าย เราทำขั้นตอนเดียวกันแต่จำลองการเปิดตัว 1,000 ครั้ง:

ดังที่เราเห็นในตารางสุดท้าย ตอนนี้ค่าของความน่าจะเป็นของความถี่ใกล้เคียงกับความน่าจะเป็นทางทฤษฎีมาก

โดยสรุป ยิ่งเราเพิ่มจำนวนการทดลองที่ดำเนินการมากเท่าใด ค่าความน่าจะเป็นของความถี่ของเหตุการณ์ก็จะยิ่งเข้าใกล้ความน่าจะเป็นทางทฤษฎีที่จะเกิดขึ้นมากขึ้นเท่านั้น ดังนั้นจึงเคารพ กฎของจำนวนจำนวนมาก เพราะยิ่งเราทำซ้ำมากเท่าใด ค่าการทดลองก็จะใกล้เคียงกับค่าทางทฤษฎีมากขึ้นเท่านั้น

ข้อจำกัดของกฎหมายคนจำนวนมาก

กฎจำนวนมากใช้ได้ในกรณีส่วนใหญ่ อย่างไรก็ตาม การแจกแจงความน่าจะเป็นบางประเภทไม่เป็นไปตามทฤษฎีบททางสถิตินี้

ตัวอย่างเช่น การแจกแจงแบบ Cauchy หรือการแจกแจงแบบพาเรโต (α<1) จะไม่มาบรรจบกันเมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้น นี่เป็นเพราะส่วนหางที่มากของการแจกแจง ซึ่งหมายความว่ามันไม่มีค่าที่คาดหวัง

ในทางกลับกัน การทดลองบางอย่างมีความเอนเอียงเนื่องจากคุณลักษณะ ดังนั้นผู้วิจัยจึงมีแนวโน้มที่จะปรับเปลี่ยนผลลัพธ์ (โดยตั้งใจหรือไม่ก็ตาม) ด้วยเหตุผล จิตวิทยา เศรษฐกิจ ฯลฯ. เหตุผล ในกรณีเหล่านี้ กฎที่มีจำนวนมากไม่ได้ช่วยแก้ไขอคติ แต่อคติจะยังคงอยู่โดยไม่คำนึงถึงจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้น

กฎของจำนวนมากและทฤษฎีบทขีดจำกัดจุดศูนย์กลาง

กฎของจำนวนจำนวนมากและทฤษฎีบทขีดจำกัดจุดศูนย์กลางเป็นกฎพื้นฐานสองข้อที่เกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิดของความน่าจะเป็นและสถิติ ดังนั้นในส่วนนี้ เราจะมาดูกันว่าความสัมพันธ์ของพวกเขาคืออะไร และความแตกต่างของพวกเขาคืออะไร

ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางหรือที่เรียกว่าทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง กล่าวว่าการกระจายตัวของค่าเฉลี่ยตัวอย่างเข้าใกล้การแจกแจงแบบปกติเมื่อขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้น โดยไม่คำนึงถึงการกระจายตัวของความน่าจะเป็นของประชากร

ความแตกต่างระหว่างกฎของจำนวนมากและทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง คือ กฎของจำนวนมากบอกว่าค่าเฉลี่ยของการทดลองจำนวนมากนั้นใกล้เคียงกับค่าที่คาดไว้ แต่ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางบอกว่าค่าเฉลี่ยของการทดลองจำนวนมาก ตัวอย่างประมาณการกระจายตัวแบบปกติ