การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุด (mle) สำหรับการกระจายแบบสม่ำเสมอ

การแจกแจงแบบสม่ำเสมอ คือการแจกแจงความน่าจะเป็นซึ่งแต่ละค่าระหว่างช่วงจาก a ถึง b มีความน่าจะเป็นที่เท่ากันในการเลือก

ความน่าจะเป็นที่จะได้ค่าระหว่าง x ₁ ถึง x ₂ ในช่วงเวลาจาก a ถึง b สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

P(ได้รับค่าระหว่าง x ₁ ถึง x ₂ ) = (x ₂ – x ₁ ) / (b – a)

บทช่วยสอนนี้จะอธิบายวิธีค้นหา ค่าประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด (MLE) สำหรับพารามิเตอร์ a และ b ของการแจกแจงแบบสม่ำเสมอ

การประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด

ขั้นตอนที่ 1: เขียนฟังก์ชันความน่าจะเป็น

สำหรับการแจกแจงแบบสม่ำเสมอ สามารถเขียนฟังก์ชันความน่าจะเป็นได้:

ขั้นตอนที่ 2: เขียนฟังก์ชันบันทึกความน่าจะเป็น

ขั้นตอนที่ 3: ค้นหาค่าสำหรับ a และ b ที่เพิ่มความน่าจะเป็นของบันทึกโดยหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน log-likelihood เทียบกับ a และ b

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน log-likelihood เทียบกับ a สามารถเขียนได้:

ในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน log-likelihood เทียบกับ b สามารถเขียนได้:

ขั้นตอนที่ 4: ระบุตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดสำหรับ a และ b

โปรดทราบว่าอนุพันธ์เกี่ยวกับ การ เพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจ ดังนั้นตัวผู้สำหรับ a จะมีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็น ไปได้ ซึ่งก็คือ:

นาที(X ₁ , X ₂ , … , _Xn )

โปรดสังเกตด้วยว่าอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับ b ลดลงอย่างซ้ำซากจำเจ ดังนั้น ตัวผู้ของ b จะเป็น b ที่เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ซึ่งก็คือ:

สูงสุด(X ₁ , X ₂ , … , _Xn )