การกระจายตัวทางเรขาคณิต

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 3, 2023 ความน่าจะเป็น 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะอธิบายว่าการกระจายทางเรขาคณิตในสถิติคืออะไร ดังนั้นคุณจะพบคำจำกัดความของการแจกแจงทางเรขาคณิต ตัวอย่างของการแจกแจงทางเรขาคณิต และคุณสมบัติของการแจกแจงความน่าจะเป็นประเภทนี้ นอกจากนี้ คุณยังสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของการแจกแจงทางเรขาคณิตด้วยเครื่องคิดเลขออนไลน์

การกระจายทางเรขาคณิตคืออะไร?

การแจกแจงทางเรขาคณิต เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่กำหนดจำนวนการทดลองเบอร์นูลลีที่จำเป็นเพื่อให้ได้ผลลัพธ์สำเร็จครั้งแรก

นั่นคือกระบวนการแบบจำลองการกระจายทางเรขาคณิตซึ่งมีการทดลองเบอร์นูลลีซ้ำจนกระทั่งหนึ่งในนั้นได้รับผลลัพธ์ที่เป็นบวก

โปรดจำไว้ว่าการทดสอบเบอร์นูลลีเป็นการทดลองที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองแบบ: “ความสำเร็จ” และ “ความล้มเหลว” ดังนั้นหากความน่าจะเป็นของ “ความสำเร็จ” คือ p ความน่าจะเป็นของ “ความล้มเหลว” ก็คือ q=1-p

การกระจายตัวทางเรขาคณิตจึงขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ p ซึ่งเป็นความน่าจะเป็นของความสำเร็จของการทดลองทั้งหมดที่ดำเนินการ นอกจากนี้ ความน่าจะเป็น p จะเท่ากันสำหรับการทดลองทั้งหมด

$X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

ในทำนองเดียวกัน การกระจายทางเรขาคณิตสามารถกำหนดเป็นจำนวนความล้มเหลวก่อนความสำเร็จครั้งแรกได้ ในกรณีนี้ การแจกแจงสามารถรับค่า x=0 และสูตรจะแตกต่างกันเล็กน้อย แต่สิ่งที่พบบ่อยที่สุดคือการกลับไปสู่คำจำกัดความของการแจกแจงทางเรขาคณิตที่อธิบายไว้ตอนต้นของส่วนนี้

ตัวอย่างการกระจายทางเรขาคณิต

เมื่อเราได้เห็นคำจำกัดความของการแจกแจงทางเรขาคณิตแล้ว ส่วนนี้จะแสดงตัวอย่างของตัวแปรสุ่มหลายตัวที่เป็นไปตามการแจกแจงประเภทนี้

ตัวอย่างการกระจายทางเรขาคณิต:

จำนวนการโยนเหรียญจนได้หัว
จำนวนรถที่สัญจรไปมาบนถนนจนเห็นรถสีแดง
จำนวนครั้งที่บุคคลต้องทำการทดสอบขับรถจนกว่าจะผ่าน
จำนวนทอยลูกเต๋าที่ทำจนทอยเลข 6
จำนวนการโยนโทษที่จะต้องกระทำจนกว่าจะได้ประตู

สูตรการกระจายตัวทางเรขาคณิต

ในการแจกแจงทางเรขาคณิต ความน่าจะเป็นที่จะต้องทดลอง x เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เป็นบวกคือผลคูณของพารามิเตอร์ p คูณ (1-p) ยกกำลัง ของ x-1

ดังนั้น สูตรในการคำนวณความน่าจะเป็นของการแจกแจงทางเรขาคณิต คือ:

👉 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขด้านล่างเพื่อคำนวณความน่าจะเป็นของตัวแปรที่เป็นไปตามการแจกแจงทางเรขาคณิต

ในทางกลับกัน สูตรสำหรับฟังก์ชันการแจกแจงที่ทำให้สามารถคำนวณความน่าจะเป็นสะสมของการแจกแจงทางเรขาคณิตมีดังนี้

$P[X\leq x]=1-(1-p)^x$

แบบฝึกหัดการกระจายทางเรขาคณิตได้รับการแก้ไขแล้ว

ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 5 ในการทอยลูกเต๋าครั้งที่ 3 เป็นเท่าไหร่?

การกระจายความน่าจะเป็นของปัญหานี้คือการแจกแจงทางเรขาคณิต เนื่องจากจะกำหนดจำนวนการพ่นที่จำเป็น (สาม) เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ประสบความสำเร็จ (หมายเลข 5)

ดังนั้นเราจึงต้องคำนวณความน่าจะเป็นของความสำเร็จของการเปิดตัวแต่ละครั้งก่อน ในกรณีนี้ มีเพียงผลลัพธ์ที่เป็นบวกเพียงรายการเดียวจากผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 6 รายการ ดังนั้นความน่าจะเป็น p คือ:

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

จากนั้นเราใช้สูตรการกระจายทางเรขาคณิตเพื่อกำหนดความน่าจะเป็นที่แบบฝึกหัดถามเรา:

$\begin{aligned}\displaystyle P[X=x]&=(1-p)^{x-1}\cdot p\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=\left(1-\frac{1}{6}\right)^{3-1}\cdot \frac{1}{6}\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=0,1157\end{aligned}$

ลักษณะการกระจายตัวทางเรขาคณิต

การกระจายทางเรขาคณิตเป็นไปตามคุณลักษณะดังต่อไปนี้:

การกระจายตัวทางเรขาคณิตมีพารามิเตอร์ลักษณะเฉพาะ p ซึ่งเป็นความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จของการทดลองแต่ละครั้ง

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{c} of each experiment carried out.</li></ul>[latex]E[X]=\cfrac{1}{p}

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \begin{array}{c}
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...0 <ul><li> The mean of the general distribution
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...><li> The mean of the geometric distribution
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...ne of the geometric distribution is
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...the geometric distribution is equal to
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...geometric tion is equal to one divided
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...st equals one divided by probability
Please use \mathaccent for accents in math mode.

ความแปรปรวนของการแจกแจงทางเรขาคณิตเทียบเท่ากับผลต่าง 1 ลบ p ส่วนกำลังสองของ p

$Var(X)=\cfrac{1-p}{p^2}$

สูตรสำหรับฟังก์ชันมวลของการแจกแจงทางเรขาคณิตคือ:

$P[X=x]=(1-p)^{x-1}\cdot p$

ในทำนองเดียวกัน สูตรสำหรับฟังก์ชันความน่าจะเป็นสะสมของการแจกแจงทางเรขาคณิตคือ:

$P[X\leq x]=1-(1-p)^x$

การแจกแจงทางเรขาคณิตเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงแบบทวินามที่เป็นลบ แม่นยำยิ่งขึ้น นี่เทียบเท่ากับการแจกแจงแบบทวินามลบที่มีพารามิเตอร์ r=1

$X\sim \text{BN}(1,p) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

➤ โปรดดู:การแจกแจงแบบทวินามเชิงลบ
➤ ดู: การแจกแจงแบบทวินาม

เครื่องคำนวณการกระจายทางเรขาคณิต

ป้อนค่าของพารามิเตอร์ p และค่าของ x ลงในเครื่องคิดเลขต่อไปนี้เพื่อคำนวณความน่าจะเป็น คุณต้องเลือกความน่าจะเป็นที่คุณต้องการคำนวณและป้อนตัวเลขโดยใช้จุดเป็นตัวคั่นทศนิยม เช่น 0.1667

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม