การทดลองทวินาม: คำอธิบาย + ตัวอย่าง

การทำความเข้าใจการทดลองแบบทวินามเป็นขั้นตอนแรกในการทำความเข้าใจ การแจกแจงแบบทวินาม

บทช่วยสอนนี้จะกำหนดการทดลองทวินามและให้ตัวอย่างการทดลองหลายตัวอย่างที่ ถือว่า เป็นการทดลองทวินามหรือ ไม่ก็ได้

การทดลองทวินาม: คำจำกัดความ

การทดลองทวินาม คือการทดลองที่มีคุณสมบัติสี่ประการต่อไปนี้:

1. การทดลองประกอบด้วยการทดลองซ้ำ n ครั้ง จำนวน n อาจเป็นจำนวนเท่าใดก็ได้ เช่น ถ้าเราทอยเหรียญ 100 ครั้ง n = 100

2. การทดลองแต่ละครั้งมีเพียงสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ เรามักเรียกผลลัพธ์ว่า “ความสำเร็จ” หรือ “ความล้มเหลว” แต่ “ความสำเร็จ” เป็นเพียงป้ายกำกับสำหรับสิ่งที่เราไว้วางใจ ตัวอย่างเช่น เมื่อเราโยนเหรียญ เราอาจเรียกหัวว่า “ตี” และเรียกหางว่า “ล้มเหลว”

3. ความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จ ซึ่งแสดงด้วย p จะเท่ากันสำหรับการทดลองแต่ละครั้ง เพื่อให้การทดลองเป็นการทดลองทวินามที่แท้จริง ความน่าจะเป็นของ “ความสำเร็จ” จะต้องเท่ากันในการทดลองแต่ละครั้ง ตัวอย่างเช่น เมื่อเราโยนเหรียญ ความน่าจะเป็นที่จะได้หัว (“ความสำเร็จ”) จะเท่ากันทุกครั้งที่เราโยนเหรียญ

4. การทดสอบแต่ละครั้งมีความเป็นอิสระ ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ของการทดลองครั้งหนึ่งจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการทดลองครั้งอื่น เช่น สมมุติเราโยนเหรียญแล้วเหรียญขึ้นหัว การที่มันตกหัวไม่ได้เปลี่ยนความน่าจะเป็นที่จะตกหัวในการโยนครั้งถัดไป การพลิกแต่ละครั้ง (เช่น “การทดลองแต่ละครั้ง”) มีความเป็นอิสระ

ตัวอย่างการทดลองทวินาม

การทดลองต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการทดลองทวินามทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 1

พลิกเหรียญ 10 ครั้ง บันทึกจำนวนครั้งที่มันตกลงก้อย

นี่เป็นการทดลองทวินามเนื่องจากมีคุณสมบัติสี่ประการดังต่อไปนี้:

• การทดลองประกอบด้วยการทดลองซ้ำ n ครั้ง ในกรณีนี้ มีทั้งหมด 10 ครั้ง
• การทดลองแต่ละครั้งมีเพียงสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ เหรียญสามารถหยอดได้เฉพาะหัวหรือก้อยเท่านั้น
• ความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จจะเท่ากันสำหรับการทดลองแต่ละครั้ง หากเรานิยาม “ความสำเร็จ” เป็นการลงจอดบนหัวของคุณ ความน่าจะเป็นของความสำเร็จจะเท่ากับ 0.5 อย่างแน่นอนสำหรับการทดลองแต่ละครั้ง
• การทดสอบแต่ละครั้งมีความเป็นอิสระ ผลการเสมอกันหนึ่งครั้งจะไม่ส่งผลต่อผลการเสมอครั้งอื่นๆ

ตัวอย่าง #2

ทอยลูกเต๋า 6 ด้านอย่างยุติธรรม 20 ครั้ง บันทึกจำนวนครั้งที่ 2 ปรากฏขึ้น

นี่เป็นการทดลองทวินามเนื่องจากมีคุณสมบัติสี่ประการดังต่อไปนี้:

• การทดลองประกอบด้วยการทดลองซ้ำ n ครั้ง ในกรณีนี้ มีการทดลอง 20 ครั้ง
• การทดลองแต่ละครั้งมีเพียงสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ หากเรานิยาม 2 ว่าเป็น “ความสำเร็จ” แต่ละครั้งที่ลูกเต๋าตกลงไปที่ 2 (สำเร็จ) หรือหมายเลขอื่น (ล้มเหลว)
• ความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จจะเท่ากันสำหรับการทดลองแต่ละครั้ง ในการทดลองแต่ละครั้ง ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะตกอยู่ที่ 2 คือ 1/6 ความน่าจะเป็นนี้จะไม่เปลี่ยนจากการทดลองหนึ่งไปอีกการทดลองหนึ่ง
• การทดสอบแต่ละครั้งมีความเป็นอิสระ ผลลัพธ์ของการม้วนแม่พิมพ์ไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการม้วนแม่พิมพ์อื่นๆ

ตัวอย่าง #3

ไทเลอร์พยายามโยนโทษ 70% สมมติว่าเขาพยายาม 15 ครั้ง บันทึกจำนวนตะกร้าที่เขาทำ

นี่เป็นการทดลองทวินามเนื่องจากมีคุณสมบัติสี่ประการดังต่อไปนี้:

• การทดลองประกอบด้วยการทดลองซ้ำ n ครั้ง ในกรณีนี้ มีการทดลอง 15 ครั้ง
• การทดลองแต่ละครั้งมีเพียงสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ ในความพยายามแต่ละครั้ง ไทเลอร์ทำตะกร้าหรือไม่ก็พลาดไป
• ความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จจะเท่ากันสำหรับการทดลองแต่ละครั้ง สำหรับความพยายามแต่ละครั้ง ความน่าจะเป็นที่ไทเลอร์จะทำตะกร้าได้คือ 70% ความน่าจะเป็นนี้จะไม่เปลี่ยนจากการทดลองหนึ่งไปอีกการทดลองหนึ่ง
• การทดสอบแต่ละครั้งมีความเป็นอิสระ ผลของการพยายามโยนโทษไม่ส่งผลต่อผลของการพยายามโยนโทษอื่นๆ

ตัวอย่างที่ ไม่ใช่ การทดลองทวินาม

ตัวอย่างที่ 1

ถามคน 100 คน ว่า พวกเขาอายุเท่าไหร่

นี่ ไม่ใช่ การทดลองทวินามเนื่องจากมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มากกว่าสองผลลัพธ์

ตัวอย่าง #2

ทอยลูกเต๋า 6 ด้านอย่างยุติธรรมจนกระทั่งเลข 5 ปรากฏขึ้น

นี่ ไม่ใช่ การทดลองแบบทวินาม เนื่องจากไม่มีการทดลองจำนวน n ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า เราไม่รู้ว่าจะต้องใช้กี่ม้วนจนกว่า 5 จะปรากฏขึ้น

ตัวอย่าง #3

จั่วไพ่ 5 ใบจากสำรับไพ่

นี่ ไม่ใช่ การทดลองแบบทวินามเพราะผลของการทดลองครั้งหนึ่ง (เช่น การจั่วไพ่ใบหนึ่งจากสำรับ) จะส่งผลต่อผลลัพธ์ของการทดลองครั้งต่อไป

ตัวอย่างและคำตอบของการทดลองทวินาม

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงวิธีแก้ปัญหาเกี่ยวกับการทดลองทวินาม

คุณพลิกเหรียญ 10 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัว 7 พอดีเป็นเท่าใด?

เมื่อใดก็ตามที่เราต้องการค้นหาความน่าจะเป็นที่ n จะประสบความสำเร็จในการทดลองทวินาม เราจำเป็นต้องใช้สูตรต่อไปนี้:

P(สำเร็จ k พอดี) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

ทอง:

• n: จำนวนครั้งที่พยายาม
• k: จำนวนความสำเร็จ
• C: สัญลักษณ์ “การรวมกัน”
• p: ความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จในการทดลองที่กำหนด

โดยการใส่ตัวเลขเหล่านี้ลงในสูตร เราจะได้:

P(7 หัว) = ₁₀ C ₇ * 0.5 ⁷ * (1-0.5) ^10-7 = (120) * (.0078125) * (.125) = 0.11719 .

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะขึ้นหัว 7 ครั้ง คือ 0.11719