ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการแจกแจงแบบทวินามลบ

การแจกแจงแบบทวินามติดลบ อธิบายถึงความน่าจะเป็นที่จะประสบความล้มเหลวจำนวนหนึ่ง ก่อนที่จะประสบผลสำเร็จจำนวนหนึ่งในชุดการทดลองเบอร์นูลลี

การทดลองแบบเบอร์นูลลี เป็นการทดลองที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียงสองผลลัพธ์เท่านั้น ได้แก่ “ความสำเร็จ” หรือ “ความล้มเหลว” และความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จจะเท่ากันทุกครั้งที่ทำการทดลอง

ตัวอย่างของเรียงความของ Bernoulli คือการโยนเหรียญ เหรียญสามารถลงได้สองหัวเท่านั้น (เราอาจเรียกหัวว่า “ตี” และก้อยว่า “ล้มเหลว”) และความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จในการพลิกแต่ละครั้งคือ 0.5 โดยถือว่าเหรียญนั้นยุติธรรม

ถ้า เป็น ตัวแปร สุ่ม

P(X=k) = _k+r-1 C _k * (1-p) ^r *p ^k

ทอง:

• k: จำนวนความล้มเหลว
• r: จำนวนความสำเร็จ
• p: ความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จในการทดลองที่กำหนด
• _k+r-1 C _k : จำนวนผลรวมของ (k+r-1) สิ่งที่ได้รับ k ในแต่ละครั้ง

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราโยนเหรียญและนิยามเหตุการณ์ที่ “ประสบความสำเร็จ” ว่าเป็นการลงหัว ความน่าจะเป็นที่จะประสบความล้มเหลว 6 ครั้ง ก่อนที่จะประสบผลสำเร็จทั้งหมด 4 ครั้งเป็นเท่าใด

เพื่อตอบคำถามนี้ เราสามารถใช้การแจกแจงทวินามลบกับพารามิเตอร์ต่อไปนี้:

• k: จำนวนความล้มเหลว = 6
• r: จำนวนความสำเร็จ = 4
• p: ความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จในการทดลองที่กำหนด = 0.5

เมื่อแทนตัวเลขเหล่านี้ลงในสูตร เราพบว่าความน่าจะเป็นคือ:

P(X=6 ความล้มเหลว) = _6+4-1 C ₆ * (1-.5) ⁴ *(.5) ⁶ = (84)*(.0625)*(.015625) = 0.08203

คุณสมบัติของการแจกแจงแบบทวินามลบ

การแจกแจงทวินามลบมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

จำนวนความล้มเหลวโดยเฉลี่ยที่เราคาดหวังก่อนที่เราจะ ประสบ ความสำเร็จคือ pr/(1-p)

ความแปรปรวนของจำนวนความล้มเหลวที่คาดหวังก่อนที่จะได้รับ r ความสำเร็จคือ pr / (1-p) ²

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราโยนเหรียญและนิยามเหตุการณ์ที่ “ประสบความสำเร็จ” ว่าเป็นการลงหัว

จำนวนความล้มเหลวโดยเฉลี่ย (เช่น การลงจอดแบบหาง) ที่เราคาดหวังก่อนที่จะได้รับความสำเร็จ 4 ครั้งคือ pr/(1-p) = (.5*4) / (1-.5) = 4

ความแปรปรวนของจำนวนความล้มเหลวที่เราคาดหวังก่อนที่จะประสบความสำเร็จ 4 ครั้งคือ pr/(1-p) ² = (.5*4)/(1-.5) ² = 8

ปัญหาแบบฝึกหัดการแจกแจงแบบทวินามเชิงลบ

ใช้แบบฝึกหัดแก้ปัญหาต่อไปนี้เพื่อทดสอบความรู้เกี่ยวกับการแจกแจงแบบทวินามลบ

หมายเหตุ: เราจะใช้ เครื่องคำนวณการแจกแจงทวินามลบ เพื่อคำนวณคำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้

ปัญหาที่ 1

คำถาม: สมมติว่าเราโยนเหรียญและนิยามเหตุการณ์ที่ “ประสบความสำเร็จ” ว่าเป็นการเอาหัวลง ความน่าจะเป็นที่จะประสบความล้มเหลว 3 ครั้งก่อนที่จะประสบผลสำเร็จทั้งหมด 4 ครั้งเป็นเท่าใด

คำตอบ: เมื่อใช้เครื่องคำนวณการแจกแจงแบบทวินามลบโดยที่ความล้มเหลว k = 3 ครั้ง, r = 4 ครั้งสำเร็จ และ p = 0.5 เราพบว่า P(X=3) = 0.15625

ปัญหาที่ 2

คำถาม: สมมติว่าเราไปขายขนมตามบ้าน เราถือว่ามันเป็น “ความสำเร็จ” หากมีคนซื้อลูกกวาดแท่ง ความน่าจะเป็นที่คนๆ หนึ่งจะซื้อลูกกวาดแท่งคือ 0.4 ความน่าจะเป็นที่จะประสบความล้มเหลว 8 ครั้ง ก่อนที่จะประสบผลสำเร็จทั้งหมด 5 ครั้งเป็นเท่าใด

คำตอบ: เมื่อใช้เครื่องคำนวณการแจกแจงแบบทวินามลบโดยมีความล้มเหลว k = 8 ครั้ง r = 5 ครั้งสำเร็จ และ p = 0.4 เราพบว่า P(X=8) = 0.08514

ปัญหา 3

คำถาม: สมมติว่าเราทอยลูกเต๋าและกำหนดให้ทอย “สำเร็จ” เป็นการกลิ้งลงบนหมายเลข 5 ความน่าจะเป็นที่ทอยลูกเต๋าบนเลข 5 ในการทอยที่กำหนดคือ 1/6 = 0.167 ความน่าจะเป็นที่จะประสบความล้มเหลว 4 ครั้งก่อนที่จะประสบผลสำเร็จทั้งหมด 3 ครั้งเป็นเท่าใด

คำตอบ: เมื่อใช้เครื่องคำนวณการแจกแจงแบบทวินามลบโดยที่ความล้มเหลว k = 4 ครั้ง, r = 3 ครั้งสำเร็จ และ p = 0.167 เราพบว่า P(X=4) = 0.03364