ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (หรือค่าที่คาดหวัง)

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 5, 2023 ความน่าจะเป็น 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะอธิบายว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (หรือค่าคาดหวัง) ของตัวแปรสุ่มคืออะไร และวิธีการคำนวณ คุณจะพบกับแบบฝึกหัดความหวังทางคณิตศาสตร์ที่แก้ไขได้ นอกจากนี้ คุณยังสามารถหาค่าที่คาดหวังของชุดข้อมูลใดๆ ได้ด้วยเครื่องคิดเลขออนไลน์

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (หรือมูลค่าที่คาดหวัง) คืออะไร?

ในสถิติ ความคาดหวัง หรือ ที่เรียกว่า ค่าที่คาดหวัง คือตัวเลขที่แสดงถึงค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้นจากค่าของเหตุการณ์สุ่มและความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นตามลำดับ

สัญลักษณ์ของความคาดหวังคือ E ใหญ่ เช่น ความคาดหวังของตัวแปรทางสถิติ X จะแสดงด้วย E(X)

ในทำนองเดียวกัน ค่าของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของชุดข้อมูลเกิดขึ้นพร้อมกับค่าเฉลี่ย (ค่าเฉลี่ยประชากร)

วิธีการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ในการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรแยก ต้องปฏิบัติตามขั้นตอนต่อไปนี้:

คูณแต่ละเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ด้วยความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น
รวมผลลัพธ์ทั้งหมดที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้า
ค่าที่ได้รับคือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (หรือค่าที่คาดหวัง) ของตัวแปร

ดังนั้น สูตรในการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (หรือค่าที่คาดหวัง) ของตัวแปรแยก จึงเป็นดังนี้:

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์หรือมูลค่าที่คาดหวัง

👉 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขด้านล่างเพื่อคำนวณค่าคาดหวังของชุดข้อมูลใดก็ได้

โปรดทราบว่าสูตรข้างต้นสามารถใช้ได้ก็ต่อเมื่อตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องกัน (ในกรณีส่วนใหญ่) แต่หากตัวแปรมีความต่อเนื่อง เราต้องใช้สูตรต่อไปนี้เพื่อให้ได้ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

$\displaystyle E(X)=\int_\mathbb{R} x\cdot f_x(x) dx$

ทอง

$f_x$

คือฟังก์ชันความหนาแน่นของตัวแปรต่อเนื่อง

ตัวอย่างความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

เมื่อพิจารณาคำจำกัดความของความคาดหวัง (หรือมูลค่าที่คาดหวัง) ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม เพื่อให้คุณสามารถดูวิธีการคำนวณได้

บุคคลมีส่วนร่วมในเกมที่เขาหรือเธอสามารถชนะหรือแพ้เงินได้ตามจำนวนที่ปรากฏขึ้นเมื่อทอยลูกเต๋า หาก 1 ทอย คุณจะชนะ 800 ดอลลาร์ หาก 2 หรือ 3 ทอย คุณจะสูญเสีย 500 ดอลลาร์ และหาก 4, 5 หรือ 6 ทอย คุณจะชนะ 100 ดอลลาร์ ราคาที่จะเข้าร่วมคือ $ 50 คุณจะแนะนำให้เข้าร่วมในเกมความน่าจะเป็นนี้หรือไม่?

สิ่งแรกที่ต้องทำคือกำหนดความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ เนื่องจากลูกเต๋ามีหกหน้า ความน่าจะเป็นที่จะทอยเลขใดๆ จะเป็น:

$p(\text{obtener un n\'umero})=\cfrac{1}{6}$

ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของแต่ละเหตุการณ์จึงเป็น:

$p(\text{ganar }\$800)=\cfrac{1}{6}$

$p(\text{perder }\$500)=2\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{2}{6}$

$p(\text{ganar }\$100)=3\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{3}{6}$

ตอนนี้เรารู้ความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแล้ว เราใช้สูตรทางคณิตศาสตร์สำหรับการคาดหวัง:

$\displaystyle E(X)=\sum_{i=1}^nx_i\cdot p_i$

และเราคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (หรือมูลค่าที่คาดหวัง):

$E(X)=800\cdot\cfrac{1}{6}-500\cdot \cfrac{2}{6}+100\cdot\cfrac{3}{6}=\$16,67$

มูลค่าที่คาดหวังน้อยกว่าราคาที่ร่วมเล่นเกมนี้จึงไม่ควรเล่นจะดีกว่าเพราะในระยะยาวคุณจะเสียเงินในที่สุด อาจเป็นไปได้ว่าหากคุณเข้าร่วมเมื่อถึง 1 เท่านั้น คุณจะทำกำไรได้มาก แต่ความน่าจะเป็นที่จะขาดทุนในระยะยาวนั้นมีสูง

ควรสังเกตว่าบางครั้งผลลัพธ์ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์อาจเป็นค่าที่เป็นไปไม่ได้ ตัวอย่างเช่น ในกรณีนี้ ไม่สามารถรับ $16.67 ได้

เครื่องคำนวณความคาดหวัง

ป้อนชุดข้อมูลทางสถิติลงในเครื่องคิดเลขต่อไปนี้เพื่อคำนวณค่าที่คาดหวัง คุณต้องใส่ค่าของแต่ละเหตุการณ์ในช่องแรก และในช่องที่สองความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นตามลำดับเดียวกัน

ข้อมูลต้องคั่นด้วยช่องว่างและป้อนโดยใช้จุดเป็นตัวคั่นทศนิยม

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มีดังนี้:

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่คือตัวมันเอง

$E(k)=k$

ค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มคูณด้วยสเกลาร์จะเท่ากับค่าคาดหวังของตัวแปรนี้คูณด้วยสเกลาร์นี้

$E(k\cdot X)=k\cdot E(X)$

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสองตัวจะเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของแต่ละตัวแปร

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

โดยทั่วไป การคูณตัวแปรสองตัวจะทำให้เกิดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน ผลลัพธ์จะเหมือนกันก็ต่อเมื่อตัวแปรมีความเป็นอิสระ

$E(X\cdot Y)\neq E(X)\cdot E(Y)$

หากค่าทั้งหมดของตัวแปรมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรนั้นจะเป็นบวกหรือเท่ากับศูนย์เช่นกัน

$X\geq 0 \ \longrightarrow \ E(X)\geq 0$

หากค่าทั้งหมดของตัวแปรตัวหนึ่งน้อยกว่าค่าทั้งหมดของตัวแปรอื่น ความคาดหวังของตัวแปรทั้งสองจะมีความสัมพันธ์เหมือนกัน

$X\leq Y \ \longrightarrow \ E(X)\leq E(Y)$

หากเรารู้ว่าตัวแปรถูกจำกัดด้วยสองค่า ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรนั้นก็จะถูกจำกัดในทางตรรกะเช่นกัน

$a <ul> <li> Si une variable est la combinaison linéaire d’une autre variable, ses attentes mathématiques satisfont à la même relation algébrique : </li> </ul> <p>[latex]Y=a+bX \ \longrightarrow \ E(Y)=a+b\cdot E(X)” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”41″ width=”1116″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> <h2 class=$ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มีไว้เพื่ออะไร?

ในส่วนสุดท้ายนี้ เราจะเจาะลึกความหมายของความหวังทางคณิตศาสตร์ โดยเป็นรูปธรรม เราจะเห็นว่าการวัดทางสถิตินี้ใช้เพื่ออะไร และทำให้เข้าใจแนวคิดได้ดีขึ้น

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (หรือค่าที่คาดหวัง) ใช้เพื่อมีค่าของจำนวนที่คาดว่าจะได้รับหรือสูญเสียในระยะยาวในพื้นที่ความน่าจะเป็น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์บ่งบอกถึงผลตอบแทนที่จะได้รับในระยะยาว

เมื่อบุคคลกำลังพิจารณาที่จะลงทุน เช่น การซื้อหุ้นของบริษัท พารามิเตอร์ตัวหนึ่งที่ต้องคำนึงถึงคือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เพราะหากคุณลงทุนหลายครั้ง ผลตอบแทนทางเศรษฐกิจที่คุณจะได้รับจะเป็นมูลค่าของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ถือเป็นค่าเฉลี่ยของผลประโยชน์ที่ได้รับ

ในทำนองเดียวกัน ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ยังนำไปใช้ในสาขาอื่นๆ เช่น เศรษฐมิติ ฟิสิกส์ควอนตัม การค้าขาย และแม้แต่ชีววิทยา

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม