ความน่าจะเป็นของการรวมกันของเหตุการณ์

ในบทความนี้ เราจะอธิบายวิธีคำนวณความน่าจะเป็นแบบยูเนียนของเหตุการณ์ต่างๆ ดังนั้นคุณจะพบว่าอะไรคือสูตรสำหรับความน่าจะเป็นของการรวมกันของเหตุการณ์และนอกจากนี้แบบฝึกหัดยังแก้ไขทีละขั้นตอน

การรวมกันของเหตุการณ์คืออะไร?

ในทฤษฎีความน่าจะ เป็น การรวมกันของเหตุการณ์ คือการดำเนินเหตุการณ์ซึ่งผลลัพธ์ประกอบด้วย เหตุการณ์เบื้องต้น ทั้งหมดของชุดการดำเนินการ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การรวมกันของสองเหตุการณ์ A และ B คือเซตของเหตุการณ์ที่พบใน A ใน B หรือทั้งสองอย่าง

การรวมกันของสองเหตุการณ์แสดงด้วยสัญลักษณ์ ⋃ ดังนั้นการรวมกันของเหตุการณ์ A และ B จึงเขียนว่า A⋃B

ตัวอย่างเช่น ในการทดลองสุ่มของการทอยลูกเต๋า ถ้าเหตุการณ์หนึ่งทอยเลขคี่ A={1, 3, 5} และอีกเหตุการณ์หนึ่งทอยเลขน้อยกว่าสาม B={1, 2} ผลรวมของทั้งสอง เหตุการณ์คือ A⋃B={1, 2, 3, 5}

สูตรความน่าจะเป็นของการรวมเหตุการณ์

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์สองเหตุการณ์จะ รวมกันจะเท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์แรกบวกกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สองลบด้วยความน่าจะเป็นที่จุดตัดกันของทั้งสองเหตุการณ์

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สูตรสำหรับความน่าจะเป็นของการรวมกันของสองเหตุการณ์ คือ P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B)

ทอง:

• 

  คือความน่าจะเป็นของการรวมกันของเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B

• 

  คือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น

• 

  คือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ B จะเกิดขึ้น

• 

  คือความน่าจะเป็นที่จุดตัดของเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B

อย่างไรก็ตาม หากทั้งสองเหตุการณ์เข้ากันไม่ได้ จุดตัดกันระหว่างสองเหตุการณ์จะเป็นศูนย์ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะรวมเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์เข้าด้วยกันจึงคำนวณโดยการบวกความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของแต่ละเหตุการณ์

แก้ไขตัวอย่างของความน่าจะเป็นของการรวมกันของเหตุการณ์

เพื่อให้คุณสามารถดูวิธีการคำนวณความน่าจะเป็นของการรวมกันของสองเหตุการณ์ เราจะฝากตัวอย่างสองตัวอย่างไว้ด้านล่างเพื่อแก้ไขทีละขั้นตอน ขั้นแรกเราจะค้นหาความน่าจะเป็นของการรวมกันระหว่างเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์ จากนั้นจึงค้นหาความน่าจะเป็นของการรวมเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์เข้าด้วยกัน เนื่องจากการคำนวณจะแตกต่างกันเล็กน้อย

ความน่าจะเป็นของการรวมกันของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์

• เราใส่ลูกบอลสีน้ำเงิน 10 ลูก ลูกบอลสีส้ม 6 ลูก และลูกบอลสีเขียว 4 ลูกในกล่อง ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีน้ำเงินหรือสีส้มเป็นเท่าใด

แบบฝึกหัดนี้ขอให้เราพิจารณาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้น ดังนั้น เพื่อแก้ปัญหา เราต้องใช้สูตรสำหรับการรวมกันของสองเหตุการณ์:

อันดับแรก เราคำนวณความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแยกกันโดยใช้ สูตรกฎลาปลาซ :

อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ เหตุการณ์ทั้งสองไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ เนื่องจากเป็นสองเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ ดังนั้นหากเราวาดลูกบอลสีน้ำเงิน เราก็ไม่สามารถวาดลูกบอลสีส้มได้อีกต่อไป และในทางกลับกัน

ดังนั้น ความน่าจะเป็นร่วมของทั้งสองเหตุการณ์จึงเป็นศูนย์ ดังนั้นสูตรจึงง่ายขึ้น:

ดังนั้นการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีน้ำเงินหรือลูกบอลสีส้มจึงเป็นดังนี้:

สรุปคือ ความน่าจะเป็นที่จะหยิบลูกบอลสีน้ำเงินหรือสีส้มออกจากกล่องคือ 80%

ความน่าจะเป็นของการรวมกันของสองเหตุการณ์ที่เข้ากันได้

• ถ้าเราทอยเหรียญสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวอย่างน้อยหนึ่งครั้งเป็นเท่าใด?

ในกรณีนี้ เหตุการณ์ต่างๆ เข้ากันได้ เนื่องจากเราสามารถได้ “หัว” ในการโยนครั้งแรกและ “ก้อย” ในการโยนครั้งที่สอง ดังนั้นสูตรในการคำนวณความน่าจะเป็นของการรวมกันของเหตุการณ์จึงไม่ง่ายขึ้นและเป็นดังนี้:

ดังนั้น ก่อนอื่นเราต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้ “หัว” จากการโยนเหรียญโดยใช้กฎของลาปลาซ:

ทีนี้ลองคำนวณความน่าจะเป็นของจุดตัดของเหตุการณ์ทั้งสองโดยใช้ สูตรกฎการคูณ :

สุดท้าย หากต้องการค้นหาความน่าจะเป็นที่หัวจะตกในการเสี่ยงอย่างน้อยหนึ่งในสองครั้ง เพียงแทนค่าลงในสูตรแล้วทำการคำนวณ:

โดยสรุป ความน่าจะเป็นที่เมื่อคุณโยนเหรียญสองครั้ง มันจะขึ้นหัวอย่างน้อยหนึ่งครั้งคือ 75%

คุณสมบัติของสหภาพเหตุการณ์

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น การทำงานของการรวมกันของเหตุการณ์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• สมบัติการสับเปลี่ยน: ลำดับของเหตุการณ์ในสหภาพไม่ได้แก้ไขผลลัพธ์ของการดำเนินการ

• ทรัพย์สินที่เชื่อมโยง: สามารถคำนวณการรวมกันของสามเหตุการณ์ในลำดับใดก็ได้ เนื่องจากผลลัพธ์จะเหมือนกัน

• ทรัพย์สินแบบกระจาย: การรวมกันของเหตุการณ์ตระหนักถึงคุณสมบัติการกระจายที่มีจุดตัดของเหตุการณ์