ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับผลต่างของค่าเฉลี่ย

โดย สิงหาคม 3, 2023 สถิติ 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะอธิบายว่าช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความแตกต่างในค่าเฉลี่ยทางสถิติคืออะไร และใช้เพื่ออะไร ดังนั้น คุณจะค้นพบวิธีการคำนวณช่วงความเชื่อมั่นสำหรับผลต่างของสองค่าเฉลี่ยและแบบฝึกหัดที่ได้รับการแก้ไขทีละขั้นตอน

ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับผลต่างของค่าเฉลี่ยคืออะไร?

ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับผลต่างของค่าเฉลี่ย คือช่วงเวลาที่ให้ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดซึ่งระหว่างนั้นค่าของผลต่างของค่าเฉลี่ยของประชากรทั้งสองจะอยู่ที่ระดับความเชื่อมั่นที่แน่นอน

ตัวอย่างเช่น หากช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความแตกต่างในค่าเฉลี่ยของประชากรสองกลุ่มที่มีระดับความเชื่อมั่น 95% คือ (3.5) นั่นหมายความว่าความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของประชากรทั้งสองจะอยู่ระหว่าง 3 ถึง 5 ด้วยความน่าจะเป็น 95 %

ดังนั้นในสถิติจึงใช้ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความแตกต่างในค่าเฉลี่ยเพื่อประมาณค่าสองค่าระหว่างที่ความแตกต่างระหว่างประชากรสองคนหมายถึงอยู่ ดังนั้น เมื่อใช้ข้อมูลจากสองตัวอย่าง จึงเป็นไปได้ที่จะประมาณความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยประชากรได้

สูตรช่วงความเชื่อมั่นสำหรับผลต่างของค่าเฉลี่ย

สูตรสำหรับช่วงความเชื่อมั่นสำหรับผลต่างในค่าเฉลี่ยขึ้นอยู่กับว่าทราบค่าความแปรปรวนของประชากรหรือไม่ และหากไม่ทราบ ค่าแปรปรวนของประชากรจะถือว่าเท่ากันหรือไม่ . จากนั้นเราจะดูว่าช่วงความเชื่อมั่นสำหรับผลต่างค่าเฉลี่ยคำนวณอย่างไรในแต่ละกรณี

การเบี่ยงเบนที่ทราบ

สูตรในการคำนวณช่วงความเชื่อมั่นสำหรับผลต่างในค่าเฉลี่ยเมื่อทราบความแปรปรวนของประชากรทั้งสอง ด้วยระดับความเชื่อมั่น 1-α มีดังนี้:

\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}

ทอง:

  • \overline{x_i}

    คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง i

  • \sigma_i

    คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร i

  • Z_{\alpha/2}

    คือค่าของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานที่มีความน่าจะเป็น α/2

  • n_i

    คือขนาดตัวอย่าง i

กรณีนี้เป็นกรณีที่พบบ่อยที่สุด เนื่องจากโดยทั่วไปไม่ทราบค่าของความแปรปรวนของประชากร

ความแปรปรวนที่ไม่รู้จักและเท่ากัน

เมื่อไม่ทราบความแปรปรวนของประชากรทั้งสองแต่สามารถประมาณได้ว่าเท่ากัน สูตรในการคำนวณช่วงความเชื่อมั่นสำหรับผลต่างของค่าเฉลี่ย ด้วยระดับความเชื่อมั่น 1-α จะเป็นดังนี้:

\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})\pm t_{\alpha/2}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}

ทอง:

  • \overline{x_i}

    คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง i

  • s_p

    คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานรวม

  • t_{\alpha/2}

    คือค่าของการแจกแจง t ของนักเรียนที่มีดีกรีอิสระ n 1 + n 2 -2 ด้วยความน่าจะเป็น α/2

  • n_i

    คือขนาดตัวอย่าง i

เนื่องจากในกรณีนี้ สันนิษฐานว่าความแปรปรวนของประชากรเท่ากัน จึงใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานรวมในการคำนวณช่วงความเชื่อมั่น ซึ่งคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้

\displaystyle s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}

ทอง

s_i

คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง i

รูปแบบที่ไม่รู้จักและแตกต่างกัน

เมื่อไม่ทราบความแปรปรวนของประชากรทั้งสองและไม่สามารถถือว่าเท่ากันได้ สูตรในการคำนวณช่วงความเชื่อมั่นสำหรับผลต่างของค่าเฉลี่ย ด้วยระดับความเชื่อมั่น 1-α จะเป็นดังนี้:

\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})\pm t_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}

ทอง:

  • \overline{x_i}

    คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง i

  • s_i

    คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง i

  • t_{\alpha/2}

    คือค่าของการแจกแจง t ของนักเรียนที่มีความน่าจะเป็น α/2

  • n_i

    คือขนาดตัวอย่าง i

ในกรณีนี้ องศาอิสระของการแจกแจง t ของนักเรียนคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

\displaystyle GL=\frac{\displaystyle\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{s_1^2}{n_1}}{n_1-1}+\frac{\displaystyle\frac{s_2^2}{n_2}}{n_2-1}}

ทอง

s_i

คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง i

ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของช่วงความเชื่อมั่นสำหรับผลต่างของค่าเฉลี่ย

หลังจากที่ได้เห็นคำจำกัดความของช่วงความเชื่อมั่นสำหรับผลต่างของค่าเฉลี่ยและสูตรที่แตกต่างกันแล้ว ตอนนี้เราจะเห็นตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมเพื่อสรุปวิธีคำนวณช่วงความเชื่อมั่นสำหรับผลต่างของค่าเฉลี่ยทั้งสอง

  • เราต้องการศึกษาผลของยาสูบต่อน้ำหนักแรกเกิดของเด็ก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จะมีการเปรียบเทียบสองตัวอย่าง: ตัวอย่างแรกประกอบด้วยเด็กที่มารดาไม่สูบบุหรี่ และตัวอย่างที่สองประกอบด้วยเด็กที่มารดาสูบบุหรี่ (พารามิเตอร์ตัวอย่างระบุไว้ด้านล่าง) คำนวณช่วงความเชื่อมั่นสำหรับผลต่างของค่าเฉลี่ยด้วยระดับความเชื่อมั่น 95%
    1. มารดาที่ไม่สูบบุหรี่:

      \overline{x_1}=3,1 \ kg \quad s_1=0,6 \ kg \quad n_1=39

    2. มารดาที่สูบบุหรี่:

      \overline{x_2}=3,5 \ kg \quad s_2=0,4 \ kg\quad n_2=43

ในกรณีนี้ เราไม่ทราบค่าของความแปรปรวนของประชากร อย่างไรก็ตาม เราสามารถสรุปได้ว่าความแปรปรวนของประชากรนั้นเท่ากัน เนื่องจากเรากำลังเผชิญกับประชากรสองกลุ่มที่มีลักษณะคล้ายกันมาก ดังนั้น สูตรหาช่วงความเชื่อมั่นสำหรับผลต่างของค่าเฉลี่ยที่เราควรใช้คือ

\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})\pm t_{\alpha/2}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}

ดังนั้นเราจึงคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานรวมจากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของทั้งสองตัวอย่าง:

\begin{aligned}\displaystyle s_p&=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\\[2ex]\displaystyle s_p&=\sqrt{\frac{(39-1)\cdot 0,6^2+(43-1)\cdot 0,4^2}{39+43-2}}\\[2ex]\displaystyle s_p&=0,50\end{aligned}

ในทำนองเดียวกัน เราต้องหาค่าของการแจกแจง t ของนักเรียนที่ 80 องศาอิสระ ที่มีความน่าจะเป็น 2.5% ใน ตารางการกระจายความน่าจะเป็นของการแจกแจง t ของนักเรียน :

1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025

\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n_1+n_2-2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025|80}=1,990\end{array}

สุดท้าย เราแทนที่ข้อมูลลงในสูตรช่วงความเชื่อมั่นเพื่อหาค่าความแตกต่างในค่าเฉลี่ยและทำการคำนวณ:

\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})\pm t_{\alpha/2}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}

\displaystyle (3,1-3,5)\pm 1,990\cdot 0,5\cdot\sqrt{\frac{1}{39}+\frac{1}{43}}

\displaystyle -0,4\pm 0,22

ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับผลต่างของวิธีการของปัญหาจึงเป็นดังนี้:

(-0,61,-0,18)

เกี่ยวกับผู้แต่ง

Dr. Benjamin Anderson
ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม

เพิ่มความคิดเห็น

อีเมลของคุณจะไม่แสดงให้คนอื่นเห็น ช่องข้อมูลจำเป็นถูกทำเครื่องหมาย *