ทฤษฎีบทความน่าจะเป็นรวม

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 1, 2023 ความน่าจะเป็น 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะอธิบายว่าทฤษฎีบทความน่าจะเป็นรวมคืออะไร และใช้เพื่ออะไรในความน่าจะเป็นและสถิติ ดังนั้น คุณจะพบสูตรสำหรับทฤษฎีบทความน่าจะเป็นทั้งหมด แบบฝึกหัดที่แก้ได้แล้ว และเวลาที่จะใช้ทฤษฎีบทความน่าจะเป็นทั้งหมด

ทฤษฎีบทความน่าจะเป็นทั้งหมดคืออะไร?

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ทฤษฎีบทความน่าจะเป็นทั้งหมด เป็นกฎที่ทำให้สามารถคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของพื้นที่ตัวอย่างจาก ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ของเหตุการณ์ทั้งหมดในพื้นที่ตัวอย่างดังกล่าว

ดังนั้น ทฤษฎีบทความน่าจะเป็นทั้งหมดจึงถูกนำมาใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งๆ โดยอาศัยข้อมูลบางส่วนเกี่ยวกับเหตุการณ์นั้น บางครั้งเราไม่สามารถระบุความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยใช้กฎของลาปลาซโดยตรง เนื่องจากเราไม่มีข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมด แต่ถ้าเรารู้ข้อมูลเกี่ยวกับเหตุการณ์นี้สัมพันธ์กับเหตุการณ์อื่น ทฤษฎีบทความน่าจะเป็นรวมก็มักจะมีประโยชน์

กล่าวโดยสรุป ทฤษฎีบทความน่าจะเป็นทั้งหมดจะใช้เมื่อเราต้องการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่มีข้อมูลเกี่ยวกับเหตุการณ์นั้นภายใต้เงื่อนไขบางประการเท่านั้น ตัวอย่างเช่น การประยุกต์ทฤษฎีบทนี้บางส่วนเกี่ยวข้องกับการทดลองหลายกรณี ทฤษฎีการจัดคิว และการวิเคราะห์การอยู่รอด

➤ ดู: กฎของลาปลาซ

สูตรสำหรับทฤษฎีบทความน่าจะเป็นรวม

ทฤษฎีบทความน่าจะเป็นทั้งหมดบอกว่า เมื่อพิจารณาชุดของเหตุการณ์ {A ₁ , A ₂ ,…, A _n } ซึ่งสร้างพาร์ติชันบนพื้นที่ตัวอย่าง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B จะเท่ากับผลรวมของผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ เหตุการณ์ P(A _i ) ด้วยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข P(B|A _i )

ดังนั้น สูตรสำหรับทฤษฎีบทความน่าจะเป็นรวม คือ:

ทอง:

$P(B)$

คือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ B จะเกิดขึ้น
$P(B|A_i)$

คือความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ B เมื่อพิจารณาจากเหตุการณ์ A _i
$P(A_i)$

คือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A _i จะเกิดขึ้น

โปรดทราบว่าตามความน่าจะเป็น พาร์ติชันของพื้นที่ตัวอย่างถูกกำหนดให้เป็นชุดของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ซึ่งรวมกันเป็นพื้นที่ตัวอย่าง

➤ ดู: พื้นที่ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของทฤษฎีบทความน่าจะเป็นทั้งหมด

หลังจากดูคำจำกัดความของทฤษฎีบทความน่าจะเป็นทั้งหมดและสูตรของมันแล้ว เราจะมาดูแบบฝึกหัดที่มีคำตอบเกี่ยวกับวิธีการคำนวณความน่าจะเป็นด้วยทฤษฎีบทความน่าจะเป็นทั้งหมด เพื่อให้เข้าใจความหมายของทฤษฎีได้ดีขึ้น

ร้านขายเครื่องใช้ไฟฟ้าขายโทรทัศน์สามยี่ห้อ: X, Y, Z ประมาณว่า 20% ของยอดขายเป็นโทรทัศน์ของแบรนด์ % ของแบรนด์ที่มีข้อบกพร่อง และ 4% ของโทรทัศน์แบรนด์ Z โทรทัศน์ชำรุด มีโอกาสมากเพียงใดที่จะซื้อทีวีที่มีข้อบกพร่อง?

คำชี้แจงปัญหาทำให้เรามีความน่าจะเป็นที่ลูกค้าจะซื้อทีวีแต่ละยี่ห้อ:

เหตุการณ์ A ₁ : ลูกค้าซื้อโทรทัศน์ยี่ห้อ _{หนึ่ง}
กิจกรรม A ₂ : ลูกค้าซื้อโทรทัศน์จากแบรนด์ Y → P(A ₂ )=0.50
เหตุการณ์ A ₃ : ลูกค้าซื้อโทรทัศน์ยี่ห้อ Z → P(A ₃ )=0.30

นอกจากนี้ ข้อความแบบฝึกหัดยังช่วยให้เรามีความน่าจะเป็นที่โทรทัศน์ของแต่ละแบรนด์จะชำรุด:

เหตุการณ์ B: ทีวีมีข้อบกพร่อง

B|A ₁ : เมื่อพิจารณาจากโทรทัศน์ยี่ห้อ X โทรทัศน์มีข้อบกพร่อง → P(B|A ₁ )=0.05
B|A ₂ : เมื่อพิจารณายี่ห้อโทรทัศน์ Y โทรทัศน์จะชำรุด → P(B|A ₂ )=0.03
B|A ₃ : เมื่อพิจารณาจากโทรทัศน์ยี่ห้อ Z โทรทัศน์มีข้อบกพร่อง → P(B|A ₃ )=0.04

ดังนั้น แผนผังความน่าจะเป็น ของปัญหาจึงเป็นดังนี้:

ดังนั้น ในการคำนวณความน่าจะเป็นในการซื้อทีวีที่มีข้อบกพร่อง เราจำเป็นต้องใช้สูตรสำหรับกฎความน่าจะเป็นทั้งหมด:

$\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n P(B|A_i)\cdot P(A_i)$

ในกรณีของเรา พื้นที่ตัวอย่างประกอบด้วยสามเหตุการณ์ (A ₁ , A ₂ และ A ₃ ) ดังนั้นสูตรสำหรับทฤษฎีบทความน่าจะเป็นทั้งหมดจึงเป็นดังนี้:

$\displaystyle P(B)=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\cdot P(A_3)$

ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะทดแทนความน่าจะเป็นของนิพจน์ก่อนหน้าเพื่อค้นหาความน่าจะเป็นในการซื้อโทรทัศน์ที่มีข้อบกพร่อง:

$\begin{aligned} P(B)&=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\cdot P(A_3)\\[2ex]&=0,05\cdot 0,20+0,03\cdot 0,50+0,04\cdot 0,30\\[2ex]&=0,037\end{aligned}$

สรุปมีความเป็นไปได้ 3.7% ที่เราซื้อทีวีแล้วเครื่องเสีย

ทฤษฎีบทความน่าจะเป็นรวมและทฤษฎีบทเบย์

ทฤษฎีบทความน่าจะเป็นรวมและทฤษฎีบทของเบย์เป็นทฤษฎีบทที่สำคัญสองทฤษฎีในทฤษฎีความน่าจะเป็น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากทฤษฎีบทเหล่านี้ช่วยให้เราคำนวณความน่าจะเป็นจากค่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขได้

ทฤษฎีบทของเบย์คือกฎของทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เมื่อทราบข้อมูลเชิงนิรนัยเกี่ยวกับเหตุการณ์นั้น

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีบทความน่าจะเป็นทั้งหมดและทฤษฎีบทเบย์ มีความสัมพันธ์กัน อันที่จริง ตัวส่วนของสูตรทฤษฎีบทเบย์นั้นเทียบเท่ากับสูตรทฤษฎีบทความน่าจะเป็นทั้งหมด

คลิกลิงก์ต่อไปนี้เพื่อดูว่าทฤษฎีบทของเบย์คืออะไรและตัวอย่างการประยุกต์ใช้:

➤ ดู: ทฤษฎีบทของเบย์

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม