เส้นถดถอย

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 2, 2023 สถิติ 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะอธิบายว่าเส้นถดถอยในสถิติคืออะไร ดังนั้น คุณจะพบวิธีคำนวณเส้นการถดถอยระหว่างตัวแปรสองตัว แบบฝึกหัดการแก้ปัญหา และเครื่องคำนวณออนไลน์เพิ่มเติมสำหรับคำนวณเส้นการถดถอยสำหรับตัวอย่างข้อมูลใดๆ

เส้นถดถอยคืออะไร?

ในสถิติ เส้นการถดถอย คือเส้นที่ได้รับจาก แบบจำลองการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่าย แม่นยำยิ่งขึ้น เส้นการถดถอยคือเส้นที่เหมาะกับแผนภูมิกระจายมากที่สุด ดังนั้นจึงอธิบายชุดข้อมูลทางสถิติได้ดีที่สุด

ดังนั้น สมการเส้นถดถอยจึงสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์กับตัวแปรอิสระ X และตัวแปรตาม Y ของชุดข้อมูล แม้ว่าโดยทั่วไปเส้นการถดถอยจะไม่สามารถระบุค่าของการสังเกตแต่ละครั้งได้อย่างแม่นยำ แต่ก็สามารถให้ค่าประมาณได้

ดังที่คุณเห็นในกราฟก่อนหน้า เส้นการถดถอยช่วยให้เราเห็นแนวโน้มของชุดข้อมูลและประเภทของความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม ด้านล่างนี้เราจะดูการใช้งานของเส้นการถดถอย

สูตรเส้นถดถอย

ตอนนี้เรารู้คำจำกัดความของเส้นการถดถอยแล้ว มาดูวิธีคำนวณสมการเส้นของตัวแบบการถดถอยเชิงเส้นกัน

เช่นเดียวกับเส้นใดๆ สมการของเส้นการถดถอยประกอบด้วยค่าคงที่ (b ₀ ) และความชัน (b ₁ ):

$y=b_0+b_1x$

ดังนั้น สูตรในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของเส้นการถดถอยเชิงเส้น จึงเป็นดังนี้:

$\begin{array}{c}b_1=\cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}\\[12ex]b_0=\overline{y}-b_1\overline{x}\end{array}$

ทอง:

$b_0$

คือค่าคงที่ของเส้นถดถอย
$b_1$

คือความชันของเส้นถดถอย
$x_i$

คือค่าของตัวแปรอิสระ X ของข้อมูล i
$y_i$

คือค่าของตัวแปรตาม Y ของข้อมูล i
$\overline{x}$

คือค่าเฉลี่ยของค่าของตัวแปรอิสระ
$\overline{y}$

คือค่าเฉลี่ยของค่าของตัวแปรตาม Y

👉 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขด้านล่างเพื่อคำนวณเส้นถดถอยสำหรับชุดข้อมูลใดก็ได้

ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของเส้นถดถอย

หากต้องการสำรวจแนวคิดของเส้นการถดถอยเพิ่มเติม ด้านล่างนี้คือตัวอย่างการทำงานของวิธีสร้างเส้นการถดถอย

หลังจากสอบสถิติ นักเรียน 5 คนถูกถามว่าใช้เวลาเรียนกี่ชั่วโมง ข้อมูลแสดงไว้ในตารางด้านล่าง คำนวณเส้นการถดถอยจากข้อมูลทางสถิติที่รวบรวมมาเพื่อเชื่อมโยงชั่วโมงเรียนกับเกรดที่ได้รับเชิงเส้นตรง ต่อไปให้พิจารณาว่านักเรียนที่เรียน 8 ชั่วโมงจะได้เกรดเท่าใด

ในการค้นหาเส้นการถดถอยสำหรับข้อมูลตัวอย่าง เราต้องกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ b ₀ และ b ₁ ของสมการ และในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องใช้สูตรที่เห็นในส่วนด้านบน

อย่างไรก็ตาม ในการใช้สูตรสำหรับเส้นการถดถอยเชิงเส้น เราต้องคำนวณค่าเฉลี่ยของตัวแปรอิสระและค่าเฉลี่ยของตัวแปรตามก่อน:

$\begin{array}{c}\overline{x}=\cfrac{11+5+10+12+7}{5}=9\\[4ex]\overline{y}=\cfrac{7+4+5+8+6}{5}=6\end{array}$

ตอนนี้เรารู้ค่าเฉลี่ยของตัวแปรแล้ว เราก็คำนวณค่าสัมประสิทธิ์ b ₁ ของแบบจำลองโดยใช้สูตรที่เกี่ยวข้อง:

$\begin{array}{c}b_1=\cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}\\[10ex] b_1=\cfrac{\begin{array}{c}(11-9)(7-6)+(5-9)(4-6)+(10-9)(5-6)+\\+(12-9)(8-6)+(7-9)(6-6)\end{array}}{(11-9)^2+(5-9)^2+(10-9)^2+(12-9)^2+(7-9)^2}\\[6ex]b_1=0,4412\end{array}$

สุดท้ายเราคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ b ₀ ของแบบจำลองโดยใช้สูตรที่เกี่ยวข้อง:

$\begin{array}{l}b_0=\overline{y}-b_1\overline{x}\\[3ex]b_0=6-0,4412\cdot 9 \\[3ex]b_0=2,0294\end{array}$

กล่าวโดยสรุป สมการของเส้นการถดถอยเชิงเส้นของปัญหามีดังนี้

$y=2,0294+0,4412x$

ด้านล่างนี้ คุณจะเห็นการแสดงข้อมูลตัวอย่างแบบกราฟิกตลอดจนเส้นตรงของแบบจำลองการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่าย:

เมื่อเราคำนวณเส้นการถดถอยแล้ว เพื่อทำนายเกรดที่นักเรียนที่เรียน 8 ชั่วโมงจะได้รับ ให้แทนค่านี้ลงในสมการของเส้นการถดถอยที่ได้รับ:

$y=2,0294+0,4412\cdot 8=5,56$

ดังนั้น ตามแบบจำลองการถดถอยเชิงเส้น หากนักเรียนเรียนเป็นเวลา 8 ชั่วโมง เขาจะได้คะแนนสอบ 5.56

เส้นถดถอยใช้ทำอะไร?

โดยหลักแล้ว เส้นการถดถอยมีประโยชน์สองประการ: เส้นการถดถอยใช้เพื่อกำหนดประเภทของความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่างตัวแปรสองตัว และในทางกลับกัน เส้นการถดถอยยังทำให้คุณสามารถคาดการณ์เกี่ยวกับค่าของการสังเกตใหม่ได้

ความชันของเส้นถดถอยบอกเราว่าความ สัมพันธ์ ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตามเป็นอย่างไร ถ้าความชันเป็นบวก หมายความว่าตัวแปรตามเป็นสัดส่วนโดยตรงกับตัวแปรอิสระ ในขณะที่ถ้าความชันเป็นลบ ก็แสดงว่าตัวแปรนั้นมีสัดส่วนผกผัน ท้ายที่สุด หากค่าสัมประสิทธิ์ความชันใกล้กับศูนย์มาก นั่นหมายความว่าความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรทั้งสองนั้นอ่อนมาก

นอกจากนี้ หากทราบสมการของเส้นการถดถอย ค่าของตัวแปรตามสามารถทำนายค่าใหม่ของตัวแปรอิสระได้ ดังที่เราทำในตัวอย่างข้างต้น ดังนั้น ยิ่งมีการปรับเส้นการถดถอยให้ดีขึ้นเท่าใด การคาดการณ์ก็จะยิ่งดีขึ้นเท่านั้น

เครื่องคิดเลขเส้นถดถอย

ใส่ตัวอย่างข้อมูลลงในเครื่องคิดเลขต่อไปนี้เพื่อคำนวณเส้นถดถอยระหว่างตัวแปรทั้งสอง คุณต้องแยกคู่ข้อมูลเพื่อให้ในกล่องแรกมีเพียงค่าของตัวแปรอิสระ X และในกล่องที่สองมีเพียงค่าของตัวแปรตาม Y

ข้อมูลต้องคั่นด้วยช่องว่างและป้อนโดยใช้จุดเป็นตัวคั่นทศนิยม

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม