ความไม่สมมาตรและแบนราบ

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 4, 2023 สถิติ 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะอธิบายว่าความเบ้และความโด่งในสถิติเป็นอย่างไร ดังนั้น คุณจะพบคำจำกัดความของแนวคิดทั้งสองนี้ วิธีคำนวณความเบ้และความโด่ง สูตรของพวกมันคืออะไร ตลอดจนเครื่องคิดเลขออนไลน์สำหรับคำนวณความเบ้และความโด่งของตัวอย่างข้อมูลใดๆ

ความเบ้และความโด่งคืออะไร?

ความเบ้และความโด่ง เป็นการวัดทางสถิติสองแบบที่ใช้อธิบายรูปร่างของการแจกแจงโดยไม่ต้องสร้างกราฟ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความเบ้บ่งบอกถึงระดับความสมมาตร (หรือความเบ้) ของการแจกแจง ในขณะที่ความโด่งบ่งบอกถึงระดับความเข้มข้นของการกระจายตัวรอบๆ ค่าเฉลี่ย

ในสถิติ ความเบ้และความโด่งเรียกอีกอย่างว่า การวัดรูปร่าง

👉 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ด้านล่างเพื่อคำนวณความเบ้และความโด่งของชุดข้อมูลใดก็ได้

ความไม่สมมาตร

ในสถิติ ความเบ้ คือการวัดที่ระบุระดับความสมมาตร (หรือความไม่สมมาตร) ของการแจกแจงที่สัมพันธ์กับค่าเฉลี่ย พูดง่ายๆ ก็คือ ความเบ้เป็นพารามิเตอร์ทางสถิติที่ใช้ในการกำหนดระดับความสมมาตร (หรือความไม่สมมาตร) ของการแจกแจงโดยไม่จำเป็นต้องแสดงเป็นภาพกราฟิก

ดังนั้นการแจกแจงแบบอสมมาตรจึงเป็นค่าที่มีค่าทางด้านซ้ายของค่าเฉลี่ยต่างกันเมื่อเทียบกับค่าหนึ่งทางด้านขวา ในทางกลับกันในการแจกแจงแบบสมมาตรจะมีค่าทางซ้ายและขวาของค่าเฉลี่ยเท่ากัน

ดังนั้นเราจึงแยกแยะ ความไม่สมมาตรได้สามประเภท :

ความไม่สมดุลเชิงบวก : การแจกแจงมีค่าที่แตกต่างกันไปทางขวาของค่าเฉลี่ยมากกว่าทางซ้าย
สมมาตร : การแจกแจงมีจำนวนค่าทางซ้ายของค่าเฉลี่ยเท่ากับค่าทางขวาของค่าเฉลี่ย
ความเบ้เชิงลบ : การแจกแจงมีค่าที่แตกต่างกันทางด้านซ้ายของค่าเฉลี่ยมากกว่าทางด้านขวา

ค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมดุล

ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ หรือ ดัชนีความไม่สมมาตร เป็นค่าสัมประสิทธิ์ทางสถิติที่ช่วยระบุความไม่สมมาตรของการแจกแจง ดังนั้น ด้วยการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตร จึงเป็นไปได้ที่จะรู้ว่าความไม่สมมาตรประเภทใดที่การกระจายนำเสนอโดยไม่ต้องแสดงเป็นภาพกราฟิก

แม้ว่าจะมีสูตรที่แตกต่างกันในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตร และเราจะดูด้านล่างทั้งหมดโดยไม่คำนึงถึงสูตรที่ใช้ การตีความค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรจะทำดังนี้:

หากค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้เป็นบวก การกระจายตัว จะเบ้ในเชิงบวก
หากค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของเท่ากับศูนย์ การแจกแจงจะ สมมาตร
ถ้าค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้เป็นลบ การกระจายตัว จะเบ้ในเชิงลบ

สัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของฟิชเชอร์

ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของฟิชเชอร์เท่ากับโมเมนต์ที่สามเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยหารด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง ดังนั้น สูตรสำหรับสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของฟิชเชอร์ คือ:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

ในทำนองเดียวกัน สามารถใช้สูตรใดสูตรหนึ่งจากสองสูตรต่อไปนี้ในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ฟิชเชอร์ได้:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

ทอง

$E$

คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

$\mu$

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

$\sigma$

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและ

$N$

จำนวนข้อมูลทั้งหมด

ในทางกลับกัน หากข้อมูลถูกจัดกลุ่ม คุณสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

ในกรณีนี้.

$x_i$

มันเป็นเครื่องหมายของชั้นเรียนและ

$f_i$

ความถี่สัมบูรณ์ของหลักสูตร

สัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของเพียร์สัน

ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของเพียร์สันเท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยตัวอย่างและโหมดหารด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (หรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน) สูตรสำหรับสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของเพียร์สัน จึงเป็นดังนี้:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

ทอง

$A_p$

คือสัมประสิทธิ์เพียร์สัน

$\mu$

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

$Mo$

แฟชั่นและ

$\sigma$

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

โปรดทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของเพียร์สันสามารถคำนวณได้เฉพาะในกรณีที่เป็นการแจกแจงแบบ Unimodal เท่านั้น กล่าวคือ หากมีโหมดเดียวในข้อมูล

สัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของโบว์ลีย์

ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของ Bowley เท่ากับผลรวมของควอร์ไทล์ที่สามบวกควอร์ไทล์ที่ 1 ลบด้วยค่ามัธยฐาน 2 เท่าหารด้วยผลต่างระหว่างควอร์ไทล์ที่ 3 และควอไทล์ที่ 1 สูตรสำหรับสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรนี้จึงเป็นดังนี้:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

ทอง

$Q_1$

และ

$Q_3$

เหล่านี้คือควอไทล์ที่หนึ่งและสามตามลำดับและ

$Me$

คือค่ามัธยฐานของการกระจายตัว

แบน

Kurtosis หรือที่เรียก ว่าความเบ้ บ่ง ชี้ว่าการกระจายตัวมีความเข้มข้นเพียงใดรอบๆ ค่าเฉลี่ย กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความโด่งบ่งชี้ว่าการกระจายตัวสูงชันหรือราบเรียบ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ยิ่งการกระจายตัวมีความโด่งมากเท่าใด ความชันก็จะยิ่งชันมากขึ้นเท่านั้น

คำเยินยอมีสามประเภท :

Leptokurtic : การกระจายตัวมีความชัดเจนมาก กล่าวคือข้อมูลมีความเข้มข้นอย่างมากรอบๆ ค่าเฉลี่ย แม่นยำยิ่งขึ้น การแจกแจงเลปโทเคอร์ติกถูกกำหนดให้เป็นการแจกแจงที่คมชัดกว่าการแจกแจงแบบปกติ
Mesokurtic : ความโด่งของการกระจายนั้นเทียบเท่ากับความโด่งของการกระจายแบบปกติ จึงไม่ถือว่าคมหรือยกย่อง
Platykurtic : การกระจายตัวจะแบนมาก กล่าวคือความเข้มข้นรอบๆ ค่าเฉลี่ยต่ำ อย่างเป็นทางการ การแจกแจงแบบพลาตีเคอร์ติกถูกกำหนดให้เป็นการแจกแจงที่ราบเรียบกว่าการแจกแจงแบบปกติ

โปรดทราบว่าความโด่งแบบต่างๆ ถูกกำหนดโดยการใช้ความโด่งของการแจกแจงแบบปกติเป็นข้อมูลอ้างอิง

ค่าสัมประสิทธิ์ความโด่ง

สูตรสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ความโด่ง มีดังนี้:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

สูตรค่าสัมประสิทธิ์ความโด่งสำหรับ ข้อมูลที่จัดกลุ่มในตารางความถี่ :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

ในที่สุด สูตรสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ความโด่งสำหรับ ข้อมูลที่จัดกลุ่มตามช่วงเวลา :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(c_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

ทอง:

$g_2$

คือสัมประสิทธิ์ความโด่ง
$N$

คือจำนวนข้อมูลทั้งหมด
$x_i$

เป็นจุดข้อมูลลำดับที่ 3 ของอนุกรม
$\mu$

คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการแจกแจง
$\sigma$

คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (หรือค่าเบี่ยงเบนทั่วไป) ของการแจกแจง
$f_i$

คือความถี่สัมบูรณ์ของชุดข้อมูล it
$c_i$

เป็นเครื่องหมายคลาสของกลุ่ม i-th

โปรดทราบว่าในสูตรสัมประสิทธิ์ความโด่งทั้งหมด 3 จะถูกลบออกเนื่องจากเป็นค่าความโด่งของการแจกแจงแบบปกติ ดังนั้นการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ความโด่งจึงทำได้โดยใช้ความโด่งของการแจกแจงแบบปกติเป็นข้อมูลอ้างอิง นี่คือสาเหตุที่บางครั้งในสถิติมีการกล่าวกันว่ามีการคำนวณ ความโด่งมากเกินไป

เมื่อคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ความโด่งแล้ว จะต้องตีความดังนี้เพื่อระบุว่าเป็นความโด่งแบบใด:

หากค่าสัมประสิทธิ์ความโด่งเป็นบวก แสดงว่าการกระจายตัวเป็น แบบเลพโทเคอร์ติก
หากค่าสัมประสิทธิ์ความโด่งเป็นศูนย์ แสดงว่าการกระจายเป็น แบบมีโซเคอร์ติก
ถ้าค่าสัมประสิทธิ์ความโด่งเป็นลบ แสดงว่าการกระจายตัวเป็น แบบพลาตีเคอร์ติก

เครื่องคิดเลขเบ้และ Kurtosis

ป้อนข้อมูลชุดลงในเครื่องคิดเลขต่อไปนี้เพื่อคำนวณค่าความเบ้และสัมประสิทธิ์ความโด่ง และยังระบุประเภทของการกระจายด้วย ข้อมูลต้องคั่นด้วยช่องว่างและป้อนโดยใช้จุดเป็นตัวคั่นทศนิยม

ความไม่สมมาตรและความโด่งใช้เพื่ออะไร?

สุดท้ายนี้ เราจะดูว่าความเบ้และความโด่งใช้เพื่ออะไรในสถิติ และวิธีตีความพารามิเตอร์ทางสถิติทั้งสองประเภทนี้

ความเบ้และความโด่งใช้เพื่อกำหนดรูปร่างของการแจกแจงความน่าจะเป็นโดยไม่จำเป็นต้องแสดงเป็นภาพกราฟิก นั่นคือความเบ้และความโด่งถูกคำนวณเพื่อกำหนดประเภทของการกระจายโดยไม่จำเป็นต้องสร้างกราฟซึ่งโดยปกติจะต้องใช้เวลาและความพยายามมาก

นอกจากนี้ ค่าความเบ้และความโด่งยังใช้เพื่อเปรียบเทียบเส้นโค้งของการแจกแจงกับการแจกแจงแบบปกติ เพราะถ้าคล้ายกันก็หมายความว่าการกระจายตัวที่จะศึกษาสามารถประมาณได้กับการแจกแจงแบบปกติ ดังนั้นจึงสามารถนำทฤษฎีบททางสถิติหลายทฤษฎีมาใช้ได้

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม