ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

การแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล คือการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ใช้จำลองเวลาที่เราต้องรอจนกว่าเหตุการณ์บางอย่างจะเกิดขึ้น

การแจกแจงนี้สามารถใช้เพื่อตอบคำถามเช่น:

• ผู้ค้าปลีกควรรอลูกค้าเข้าร้านนานเท่าใด
• แล็ปท็อปจะทำงานต่อไปได้นานแค่ไหนก่อนที่จะพัง?
• แบตเตอรี่รถยนต์จะทำงานได้นานแค่ไหนก่อนที่จะหมด?
• เราควรรอนานแค่ไหนถึงการปะทุของภูเขาไฟครั้งต่อไปในบางภูมิภาค?

ในแต่ละสถานการณ์ เราต้องการคำนวณว่าเราจะต้องรอนานแค่ไหนจนกว่าเหตุการณ์บางอย่างจะเกิดขึ้น ดังนั้น แต่ละสถานการณ์สามารถสร้างแบบจำลองได้โดยใช้การแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

การกระจายแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล: PDF และ CDF

หาก ตัวแปรสุ่ม X ตามหลังการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ของ X ก็สามารถเขียนได้:

ฉ (x; แล) = เล ^{– แลมx}

ทอง:

• แล: พารามิเตอร์อัตรา (คำนวณเป็น แล = 1/μ)
• e: ค่าคงที่ประมาณเท่ากับ 2.718

ฟังก์ชันการกระจาย สะสม ของ

F (x; แลมบ์ดา) = 1 – อี – ^แลมx

ในทางปฏิบัติ CDF มักใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าจำนวนนาทีโดยเฉลี่ยระหว่างการปะทุของไกเซอร์แห่งใดแห่งหนึ่งคือ 40 นาที มีความเป็นไปได้มากเพียงใดที่เราจะต้องรอไม่ถึง 50 นาทีจึงจะเกิดการปะทุ?

เพื่อแก้ไขปัญหานี้ เราต้องคำนวณพารามิเตอร์อัตราก่อน:

• แล = 1/ไมโคร
• แล = 1/40
• แล = 0.025

เราสามารถแทนค่า แล = 0.025 และ x = 50 ลงในสูตร CDF ได้:

• P(X ≤ x) = 1 – อี ^{– แลมx}
• P(X ≤ 50) = 1 – อี ^-0.025(50)
• พี(X ≤ 50) = 0.7135

ความน่าจะเป็นที่เราจะต้องรอไม่ถึง 50 นาที การปะทุครั้งต่อไปคือ 0.7135 .

แสดงภาพการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

กราฟต่อไปนี้แสดง ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของ ตัวแปร สุ่ม

และกราฟต่อไปนี้แสดง ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม ของตัวแปรสุ่ม X ซึ่งตามหลังการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลด้วยพารามิเตอร์อัตราที่ต่างกัน:

หมายเหตุ: ลองอ่าน บทช่วยสอนนี้ เพื่อเรียนรู้วิธีพล็อตการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลใน R

คุณสมบัติของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

การแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• เฉลี่ย: 1 / แล
• ความแตกต่าง: 1 / แล ²

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าจำนวนนาทีโดยเฉลี่ยระหว่างการปะทุของไกเซอร์แห่งใดแห่งหนึ่งคือ 40 นาที เราจะคำนวณอัตราเป็น แล = 1/μ = 1/40 = 0.025

จากนั้นเราสามารถคำนวณคุณสมบัติต่อไปนี้สำหรับการแจกแจงนี้:

• เวลารอคอยโดยเฉลี่ยสำหรับการปะทุครั้งต่อไป: 1/แล = 1 /.025 = 40
• ความแปรผันของเวลารอการปะทุครั้งถัดไป: 1/แล ² = 1 /.025 ² = 1600

หมายเหตุ: การแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลยังมี คุณสมบัติแบบไม่มีหน่วยความจำ ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในอนาคตที่จะเกิดขึ้นจะไม่ได้รับผลกระทบจากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ในอดีต

ปัญหาการปฏิบัติเรื่องการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

ใช้แบบฝึกหัดแก้ปัญหาต่อไปนี้เพื่อทดสอบความรู้เกี่ยวกับการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

คำถามที่ 1: ลูกค้าใหม่เข้าร้านโดยเฉลี่ยทุกๆ สองนาที หลังจากที่ลูกค้ามาถึงแล้ว ให้พิจารณาความน่าจะเป็นที่ลูกค้าใหม่จะมาถึงภายในเวลาไม่ถึงนาที

โซลูชันที่ 1: เวลาเฉลี่ยระหว่างไคลเอนต์คือสองนาที ดังนั้นจึงสามารถคำนวณอัตราได้ดังนี้

• แล = 1/ไมโคร
• แล = 1/2
• แล = 0.5

เราสามารถแทนค่า แล = 0.5 และ x = 1 ลงในสูตร CDF ได้:

• P(X ≤ x) = 1 – อี ^{– แลมx}
• P(X ≤ 1) = 1 – อี ^-0.5(1)
• P(X ≤ 1) = 0.3935

ความน่าจะเป็นที่เราจะต้องรอไม่ถึงหนึ่งนาทีกว่าลูกค้ารายต่อไปจะมาถึงคือ 0.3935

คำถามที่ 2: แผ่นดินไหวเกิดขึ้นโดยเฉลี่ยทุกๆ 400 วันในบางภูมิภาค หลังแผ่นดินไหว ให้กำหนดความน่าจะเป็นที่จะเกิดแผ่นดินไหวครั้งต่อไปมากกว่า 500 วัน

แนวทางที่ 2: เวลาเฉลี่ยระหว่างแผ่นดินไหวคือ 400 วัน ดังนั้นจึงสามารถคำนวณอัตราได้ดังนี้

• แล = 1/ไมโคร
• แล = 1/400
• แล = 0.0025

เราสามารถแทนค่า γ = 0.0025 และ x = 500 ลงในสูตร CDF ได้:

• P(X ≤ x) = 1 – อี ^{– แลมx}
• P(X ≤ 1) = 1 – อี ^-0.0025(500)
• พี(X ≤ 1) = 0.7135

ความน่าจะเป็นที่เราจะต้องรอน้อยกว่า 500 วันจึงจะเกิดแผ่นดินไหวครั้งต่อไปคือ 0.7135 ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เราต้องรอให้เกิดแผ่นดินไหวครั้งต่อ ไปเกิน 500 วัน คือ 1 – 0.7135 = 0.2865

คำถามที่ 3: ศูนย์บริการทางโทรศัพท์จะรับสายใหม่โดยเฉลี่ยทุกๆ 10 นาที หลังจากที่ลูกค้าโทรมา ให้กำหนดแนวโน้มที่ลูกค้าใหม่จะโทรภายใน 10 ถึง 15 นาที

โซลูชันที่ 3: เวลาเฉลี่ยระหว่างการโทรคือ 10 นาที ดังนั้นจึงสามารถคำนวณอัตราได้ดังนี้

• แล = 1/ไมโคร
• แล = 1/10
• แล = 0.1

เราสามารถใช้สูตรต่อไปนี้เพื่อคำนวณความน่าจะเป็นที่ลูกค้าใหม่จะโทรมาภายใน 10-15 นาที:

• P(10 < X ≤ 15) = (1 – อี ^-0.1(15) ) – (1 – อี ^-0.1(10) )
• P(10 < X ≤ 15) = 0.7769 – 0.6321
• ป(10 < X ≤ 15) = 0.1448

โอกาสที่ลูกค้าใหม่จะโทรมาภายใน 10-15 นาที คือ 0.1448 .

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

บทช่วยสอนต่อไปนี้จะให้ข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับการแจกแจงความน่าจะเป็นทั่วไปอื่นๆ

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการแจกแจงแบบปกติ
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการแจกแจงแบบทวินาม
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการกระจายปัวซอง
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการกระจายเครื่องแบบ