การกระจายพันธุ์ปลา

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 3, 2023 ความน่าจะเป็น 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะอธิบายว่าการแจกแจงแบบปัวซองในสถิติคืออะไร และใช้เพื่ออะไร ดังนั้น คุณจะพบคำจำกัดความของการแจกแจงแบบปัวซอง ตัวอย่างของการแจกแจงแบบปัวซอง และคุณสมบัติของการแจกแจงแบบปัวซอง สุดท้ายนี้ คุณจะสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบปัวซองด้วยเครื่องคิดเลขออนไลน์ได้

การกระจายปัวซองคืออะไร?

การแจกแจงแบบปัวซอง เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่กำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จำนวนหนึ่งที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาหนึ่ง

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การแจกแจงปัวซองใช้เพื่อสร้างแบบจำลองตัวแปรสุ่มที่อธิบายจำนวนครั้งที่ปรากฏการณ์เกิดซ้ำในช่วงเวลาหนึ่ง

การแจกแจงแบบปัวซองมีพารามิเตอร์ลักษณะเฉพาะ แสดงด้วยตัวอักษรกรีก แล และระบุจำนวนครั้งที่เหตุการณ์ที่ศึกษาคาดว่าจะเกิดขึ้นในช่วงเวลาที่กำหนด

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

โดยทั่วไป การแจกแจงแบบปัวซองจะใช้ในการสร้างแบบจำลองเหตุการณ์ทางสถิติโดยมีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นต่ำมาก คุณสามารถดูตัวอย่างการแจกแจงความน่าจะเป็นประเภทนี้ได้ด้านล่างนี้

ตัวอย่างของการแจกแจงแบบปัวซอง

หลังจากที่ได้เห็นคำจำกัดความของการแจกแจงแบบปัวซองแล้ว ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของการแจกแจงแบบปัวซอง

ตัวอย่างของการแจกแจงปัวซอง:

จำนวนคนที่เข้าร้านในหนึ่งชั่วโมง
จำนวนยานพาหนะที่ข้ามพรมแดนระหว่างสองประเทศในหนึ่งเดือน
จำนวนผู้ใช้ที่เข้าถึงหน้าเว็บในหนึ่งวัน
จำนวนชิ้นส่วนชำรุดที่ผลิตโดยโรงงานในหนึ่งวัน
จำนวนสายที่การแลกเปลี่ยนโทรศัพท์ได้รับต่อนาที

สูตรการกระจายพันธุ์ปลา

ในการแจกแจงแบบปัวซง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ x ที่ เกิดขึ้นจะเท่ากับจำนวน e ยกกำลัง – แล คูณด้วย แล ยกกำลังของ x และหารด้วยแฟกทอเรียลของ x

ดังนั้น สูตรในการคำนวณความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบปัวซอง คือ:

👉 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขด้านล่างเพื่อคำนวณความน่าจะเป็นของตัวแปรที่ตามหลังการแจกแจงแบบปัวซง

เนื่องจากการแจกแจงปัวซองเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบแยกส่วน เพื่อระบุความน่าจะเป็นสะสม คุณต้องค้นหาความน่าจะเป็นของค่าทั้งหมดจนถึงค่าที่ต้องการ จากนั้นจึงบวกความน่าจะเป็นที่คำนวณได้ทั้งหมด

แก้แบบฝึกหัดเรื่องการกระจายปัวซง

จำนวนผลิตภัณฑ์ที่ขายโดยแบรนด์หนึ่งๆ ตามการกระจายปัวซองที่ แล = 5 หน่วย/วัน ความน่าจะเป็นที่คุณจะขายได้เพียง 7 หน่วยในหนึ่งวันเป็นเท่าใด? และความน่าจะเป็นที่คุณจะขายได้ 3 หน่วยหรือน้อยกว่าในหนึ่งวัน?

เพื่อให้ได้ความน่าจะเป็นต่างๆ ที่โจทย์ต้องการ เราต้องใช้สูตรการแจกแจงแบบปัวซอง (ดูด้านบน) ดังนั้น เมื่อใช้สูตรนี้ เราจะคำนวณความน่าจะเป็นที่จะขาย 7 หน่วยในหนึ่งวัน:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=7]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^7}{7!}\\[2ex]P[X=7]&=0,1044\end{aligned}$

ประการที่สอง เราถูกขอให้พิจารณาความน่าจะเป็นสะสมในการขาย 3 หน่วยหรือน้อยกว่า ดังนั้นการหาความน่าจะเป็นนี้ เราจึงต้องคำนวณความน่าจะเป็นในการขาย 1 หน่วย 2 หน่วย และ 3 หน่วยแยกกัน แล้วบวกเข้าด้วยกัน

$P[X\leq 3]=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]$

ดังนั้นเราจึงคำนวณความน่าจะเป็นแต่ละรายการแยกกันก่อน:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=1]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^1}{1!}\\[2ex]P[X=1]&=0,0337\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=2]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^2}{2!}\\[2ex]P[X=2]&=0,0842\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=3]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^3}{3!}\\[2ex]P[X=3]&=0,1404\end{aligned}$

ต่อไป เราจะเพิ่มความน่าจะเป็นที่คำนวณได้ทั้งสามรายการเพื่อกำหนดความน่าจะเป็นในการขายสามหน่วยหรือน้อยกว่าในหนึ่งวัน

$\begin{aligned}P[X\leq 3]&=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,0337+0,0842+0,1404\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,2583\end{aligned}$

ลักษณะเฉพาะของการแจกแจงแบบปัวซอง

ในส่วนนี้เราจะมาดูกันว่าคุณลักษณะของการแจกแจงแบบปัวซงมีอะไรบ้าง

การแจกแจงแบบปัวซองถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์ลักษณะเฉพาะตัวเดียว แล ซึ่งระบุจำนวนครั้งที่คาดว่าเหตุการณ์ที่ศึกษาจะเกิดขึ้นในช่วงระยะเวลาหนึ่ง

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงแบบปัวซองเท่ากับพารามิเตอร์ลักษณะเฉพาะ แล

$E[X]=\lambda$

ในทำนองเดียวกัน ความแปรปรวนของการแจกแจงแบบปัวซงจะเทียบเท่ากับพารามิเตอร์ลักษณะเฉพาะ แล

$Var(X)=\lambda$

ถ้า λ เป็นจำนวนเต็ม โหมดของการแจกแจงแบบปัวซองจะเป็นแบบ bimodal และค่าของมันคือ แล และ แลม-1 ในทางกลับกัน ถ้า γ ไม่ใช่จำนวนเต็ม รูปแบบของการแจกแจงแบบปัวซองจะเป็นจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ γ

$\begin{array}{l}\lambda \in \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\{\lambda, \lambda-1\} \\[2ex]}\lambda \ \cancel{\in} \ \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\lfloor\lambda\rfloor\end{array}$

ไม่มีสูตรเฉพาะในการหาค่ามัธยฐานของการแจกแจงแบบปัวซอง แต่คุณสามารถหาช่วงเวลาได้:

$\lambda-\ln 2\leq Me < \lambda +\cfrac{1}{3}$

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของการแจกแจงปัวซองเป็นดังนี้:

$P[X=x]=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}$

การเพิ่มตัวแปรสุ่มปัวซองอิสระส่งผลให้มีตัวแปรสุ่มปัวซองอีกตัวหนึ่งซึ่งมีพารามิเตอร์ลักษณะเฉพาะคือผลรวมของพารามิเตอร์ของตัวแปรดั้งเดิม

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Poisson}(\lambda_i) \quad i=1,\ldots,N\\[2ex] \displaystyle Y=\sum_{i=1}^N X_i\sim \text{Poisson}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\end{array}$

การแจกแจงแบบทวินามสามารถประมาณได้เป็นการแจกแจงแบบปัวซอง หากจำนวนการสังเกตทั้งหมดมีมากเพียงพอ (n≥100) แล ซึ่งเป็นผลคูณของพารามิเตอร์ลักษณะเฉพาะสองตัวของการแจกแจงแบบทวินาม

$X\sim \text{Bin}(n,p)\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim \text{Poisson}(n\cdot p)$

➤ ดู: คุณลักษณะของการแจกแจงแบบทวินาม

เครื่องคำนวณการกระจายตัวของปลา

แทนค่าของพารามิเตอร์ แลมบ์ และค่าของ x ลงในเครื่องคิดเลขด้านล่างเพื่อคำนวณความน่าจะเป็น คุณต้องเลือกความน่าจะเป็นที่คุณต้องการคำนวณและป้อนตัวเลขโดยใช้จุดเป็นตัวคั่นทศนิยม เช่น 0.1667

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม