การทดสอบสมมุติฐานเพื่อหาค่าเฉลี่ย

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 3, 2023 สถิติ 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะอธิบายว่าการทดสอบสมมติฐานสำหรับค่าเฉลี่ยคืออะไรในสถิติ ดังนั้นคุณจะพบสูตรทดสอบสมมติฐานสำหรับค่าเฉลี่ยและแบบฝึกหัดที่แก้ไขทีละขั้นตอน

การทดสอบสมมติฐานสำหรับค่าเฉลี่ยคืออะไร?

การทดสอบสมมติฐานเพื่อหาค่าเฉลี่ย เป็นวิธีการทางสถิติที่ใช้ในการปฏิเสธหรือปฏิเสธสมมติฐานว่างของค่าเฉลี่ยประชากร

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การทดสอบสมมติฐานสำหรับค่าเฉลี่ยเกี่ยวข้องกับการคำนวณสถิติการทดสอบแล้วเปรียบเทียบกับค่าวิกฤตเพื่อปฏิเสธสมมติฐานว่างหรือไม่

ควรสังเกตว่าการทดสอบสมมติฐานมีชื่อต่างกัน ในสถิติ เรียกอีกอย่างว่าข้อแตกต่างของสมมติฐาน การทดสอบสมมติฐาน หรือการทดสอบนัยสำคัญ

สูตรทดสอบสมมุติฐานสำหรับค่าเฉลี่ย

ต่อไปเราจะดูว่าสถิติการทดสอบสมมติฐานสำหรับค่าเฉลี่ยคำนวณอย่างไร อย่างไรก็ตาม สูตรจะแตกต่างกันเล็กน้อยขึ้นอยู่กับว่าทราบความแปรปรวนหรือไม่ ดังนั้นก่อนอื่นเราจะมาดูกันก่อนว่าจะดำเนินการอย่างไรเมื่อทราบความแปรปรวน และเมื่อไม่ทราบความแปรปรวน

ด้วยความเบี่ยงเบนที่รู้จัก

สูตรสมมติฐานการทดสอบสำหรับค่าเฉลี่ยที่มีความแปรปรวนที่ทราบ คือ:

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

ทอง:

$Z$

คือสถิติการทดสอบสมมติฐานของค่าเฉลี่ย
$\overline{x}$

คือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง
$\mu$

คือค่าเฉลี่ยที่เสนอ
$\sigma$

คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานประชากร
$n$

คือขนาดตัวอย่าง

เมื่อคำนวณสถิติการทดสอบสมมติฐานสำหรับค่าเฉลี่ยแล้ว ควรตีความผลลัพธ์เพื่อปฏิเสธหรือปฏิเสธสมมติฐานว่าง:

หากการทดสอบสมมติฐานสำหรับค่าเฉลี่ยเป็นแบบสองด้าน สมมติฐานว่างจะถูกปฏิเสธหากค่าสัมบูรณ์ของสถิติมากกว่าค่าวิกฤต Z _α/2
หากการทดสอบสมมติฐานสำหรับค่าเฉลี่ยตรงกับหางด้านขวา สมมติฐานว่างจะถูกปฏิเสธหากสถิติมากกว่าค่าวิกฤต Z _α
หากการทดสอบสมมติฐานสำหรับค่าเฉลี่ยตรงกับหางซ้าย สมมติฐานว่างจะถูกปฏิเสธหากสถิติน้อยกว่าค่าวิกฤต -Z _α

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

ในกรณีนี้ ค่าวิกฤตจะได้มาจาก ตารางการแจกแจงแบบปกติที่เป็นมาตรฐาน

โดยไม่ทราบความแปรปรวน

สูตรสมมติฐานการทดสอบสำหรับค่าเฉลี่ยที่ไม่ทราบความแปรปรวน คือ:

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

ทอง:

$t$

คือสถิติการทดสอบสมมติฐานสำหรับค่าเฉลี่ย ซึ่งกำหนดโดย การแจกแจงแบบ t ของนักเรียน
$\overline{x}$

คือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง
$\mu$

คือค่าเฉลี่ยที่เสนอ
$s$

คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
$n$

คือขนาดตัวอย่าง

เช่นเคย ผลการคำนวณของสถิติการทดสอบจะต้องตีความด้วยค่าวิกฤตเพื่อปฏิเสธหรือไม่ใช้สมมติฐานว่าง:

หากการทดสอบสมมติฐานสำหรับค่าเฉลี่ยเป็นแบบสองด้าน สมมติฐานว่างจะถูกปฏิเสธหากค่าสัมบูรณ์ของสถิติมากกว่าค่าวิกฤต t _α/2|n-1
หากการทดสอบสมมติฐานสำหรับค่าเฉลี่ยตรงกับหางด้านขวา สมมติฐานว่างจะถูกปฏิเสธหากสถิติมากกว่าค่าวิกฤต t _α|n-1
หากการทดสอบสมมติฐานสำหรับค่าเฉลี่ยตรงกับหางซ้าย สมมติฐานว่างจะถูกปฏิเสธหากสถิติน้อยกว่าค่าวิกฤต -t _α|n-1

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

เมื่อไม่ทราบความแปรปรวน ค่าทดสอบวิกฤตจะได้มาจากตารางการแจกแจงของนักเรียน

ตัวอย่างการทดสอบสมมติฐานสำหรับค่าเฉลี่ยในโลกแห่งความเป็นจริง

เพื่อให้เข้าใจแนวคิดของการทดสอบสมมติฐานสำหรับค่าเฉลี่ยประชากรอย่างถ่องแท้ คุณสามารถดูตัวอย่างในชีวิตจริงของการทดสอบสมมติฐานประเภทนี้ได้ที่ด้านล่าง

บริษัทเทคโนโลยีอ้างว่าแบตเตอรี่ของแล็ปท็อปที่จำหน่ายใช้งานได้ 6 ชั่วโมง เราตรวจสอบว่าสมมติฐานนี้เป็นเท็จหรือไม่โดยทำการทดสอบสมมติฐานด้วยระดับนัยสำคัญ α = 0.05 ในการดำเนินการนี้จึงตัดสินใจซื้อ 20 เครื่องและสังเกตอายุการใช้งานแบตเตอรี่ของคอมพิวเตอร์แต่ละเครื่อง (ค่าแสดงเป็นชั่วโมง):

5.2 5.9 7.1 4.2 6.5
8.5 4.6 6.8 6.9 5.8
5.1 6.5 7.0 5.3 6.2
5.7 6.6 7.5 5.1 6.1

ในกรณีนี้ สมมติฐานว่างและทางเลือก ของการทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยมีดังนี้:

$\begin{cases}H_0: \mu=6\\[2ex] H_1:\mu\neq 6 \end{cases}$

เพื่อระบุสถิติการทดสอบ เราต้องคำนวณค่าเฉลี่ยตัวอย่างและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างก่อน:

$\overline{x}=6,13 \qquad s=1,05$

เนื่องจากเราไม่ทราบความแปรปรวนของประชากร เพื่อให้ได้สถิติการทดสอบ เราจึงจำเป็นต้องใช้สูตรการทดสอบสมมติฐานสำหรับค่าเฉลี่ยที่ไม่ทราบค่าความแปรปรวน:

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

$\displaystyle t=\frac{6,13-6}{\displaystyle \frac{1,05}{\sqrt{20}}}$

$\displaystyle t=0,68$

ตอนนี้เราจำเป็นต้องค้นหาค่าวิกฤตของการทดสอบสมมติฐาน ดังนั้นเราจึงดูค่าที่สอดคล้องกันใน ตารางการแจกแจง t ของนักเรียน องศาอิสระของนักเรียนมีค่าน้อยกว่าขนาดกลุ่มตัวอย่างหนึ่ง (20-1=19) และในทางกลับกัน ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันคือครึ่งหนึ่งของระดับนัยสำคัญ (0.05/2= 0.025) เนื่องจากเป็นแบบสองด้าน การทดสอบสมมติฐาน.

$\alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n-1}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025| 19}=2,093\end{array}$

โดยสรุป เนื่องจากนี่คือการทดสอบสมมติฐานแบบสองด้านและค่าสัมบูรณ์ของสถิติการทดสอบน้อยกว่าค่าวิกฤต สมมติฐานว่างจะไม่ถูกปฏิเสธ แต่สมมติฐานทางเลือกจะถูกปฏิเสธ

$0,68<2,093 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Se rechaza } H_1$

การทดสอบสมมติฐานเพื่อหาความแตกต่างในค่าเฉลี่ย

ความแตกต่างในการทดสอบสมมติฐานเฉลี่ย ใช้เพื่อปฏิเสธหรือยอมรับสมมติฐานว่างที่ว่าค่าเฉลี่ยของประชากรทั้งสองมีค่าเท่ากัน

ดังนั้นสมมติฐานว่างของการทดสอบสมมติฐานสำหรับผลต่างของสองค่าเฉลี่ยจะเป็นดังนี้เสมอ:

$H_0: \mu_1=\mu_2$

ในขณะที่สมมติฐานทางเลือกสามารถเป็นหนึ่งในสามข้อต่อไปนี้:

$\begin{array}{l}H_1:\mu_1\neq \mu_2\\[2ex]H_1:\mu_1>\mu_2\\[2ex]H_1:\mu_1<\mu_2\end{array}$

จากนั้น สูตรในการคำนวณสถิติการทดสอบสมมติฐานสำหรับความแตกต่างในค่าเฉลี่ยเมื่อทราบความแปรปรวน คือ:

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle \overline{x_1}-\overline{x_2}}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

ทอง:

$Z$

คือสถิติการทดสอบสมมติฐานสำหรับผลต่างของสองค่าเฉลี่ยที่มีความแปรปรวนที่ทราบ ซึ่งเป็นไปตามการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน
$\overline{x_1}$

คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างที่ 1
$\overline{x_2}$

คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างที่ 2
$\sigma_1^2$

คือความแปรปรวนของประชากร 1
$\sigma_2^2$

คือความแปรปรวนของประชากร 2
$n_1$

คือขนาดตัวอย่างที่ 1
$n_2$

คือขนาดตัวอย่างที่ 2

ในทางกลับกัน สูตรคำนวณสถิติการทดสอบสมมติฐานสำหรับความแตกต่างในค่าเฉลี่ยเมื่อไม่ทราบความแปรปรวน มีดังนี้

$\displaystyle t=\frac{\displaystyle \overline{x_1}-\overline{x_2}}{\displaystyle\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$

ทอง:

$t$

คือสถิติการทดสอบสมมติฐานสำหรับผลต่างของสองค่าเฉลี่ยโดยไม่ทราบความแปรปรวน ซึ่งเป็นไปตามการแจกแจงแบบ t ของนักเรียน
$\overline{x_1}$

คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างที่ 1
$\overline{x_2}$

คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างที่ 2
$s_1^2$

คือความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่างที่ 1
$s_2^2$

คือความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง 2
$n_1$

คือขนาดตัวอย่างที่ 1
$n_2$

คือขนาดตัวอย่างที่ 2

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม

การทดสอบสมมติฐานสำหรับค่าเฉลี่ยคืออะไร?

สูตรทดสอบสมมุติฐานสำหรับค่าเฉลี่ย

ด้วยความเบี่ยงเบนที่รู้จัก

โดยไม่ทราบความแปรปรวน

ตัวอย่างการทดสอบสมมติฐานสำหรับค่าเฉลี่ยในโลกแห่งความเป็นจริง

การทดสอบสมมติฐานเพื่อหาความแตกต่างในค่าเฉลี่ย

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

เพิ่มความคิดเห็น