กฎการคูณ

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 1, 2023 ความน่าจะเป็น 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะอธิบายว่ากฎการคูณหรือที่เรียกว่ากฎผลคูณคืออะไรในทฤษฎีความน่าจะเป็น ดังนั้นคุณจะพบว่าสูตรของกฎการคูณคืออะไร ตัวอย่างวิธีคำนวณความน่าจะเป็นโดยใช้กฎการคูณ และนอกจากนี้ ยังมีแบบฝึกหัดที่แก้ไขได้หลายอย่างให้ฝึกอีกด้วย

กฎการคูณขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์เป็นอิสระหรือขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ ดังนั้นก่อนอื่นเราจะดูก่อนว่ากฎจะเป็นอย่างไรสำหรับเหตุการณ์อิสระ และต่อมาสำหรับเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับ

กฎการคูณสำหรับเหตุการณ์อิสระ

โปรดจำไว้ว่าเหตุการณ์อิสระเป็นผลจากการทดลองทางสถิติซึ่งความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับกันและกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง เหตุการณ์ A และ B สองเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกัน หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ B และในทางกลับกัน

➤ ดู: กิจกรรมอิสระคืออะไร?

สูตรกฎการคูณสำหรับเหตุการณ์อิสระ

เมื่อเหตุการณ์สองเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกัน กฎการคูณ บอกว่าความน่าจะเป็นร่วมกันของเหตุการณ์ทั้งสองที่เกิดขึ้นจะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น

ดังนั้น สูตรสำหรับกฎการคูณสำหรับเหตุการณ์อิสระคือ:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

ทอง:

$A$

และ

$B$

นี่เป็นสองเหตุการณ์ที่เป็นอิสระ
$P(A\cap B)$

คือความน่าจะเป็นร่วมที่เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เกิดขึ้น
$P(A)$

คือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น
$P(B)$

คือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ B จะเกิดขึ้น

➤ ดู: ความน่าจะเป็นร่วมคืออะไร?

ตัวอย่างกฎการคูณสำหรับเหตุการณ์อิสระ

มีการโยนเหรียญสามครั้งติดต่อกัน คำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้หัวจากการเสี่ยงทั้งสามครั้ง

ในกรณีนี้ เหตุการณ์ที่เราต้องการคำนวณความน่าจะเป็นร่วมนั้นมีความเป็นอิสระ เนื่องจากผลลัพธ์ของการจับฉลากไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ที่ได้รับในการจับรางวัลครั้งก่อน ดังนั้น เพื่อกำหนดความน่าจะเป็นร่วมที่จะได้หัวสามลูกติดต่อกัน เราจำเป็นต้องใช้สูตรกฎการคูณสำหรับเหตุการณ์อิสระ:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

เมื่อเราโยนเหรียญ ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มีเพียงสองอย่างเท่านั้น คือ หัวหรือก้อย ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวหรือก้อยเมื่อโยนเหรียญคือ:

$P(\text{cara})=\cfrac{1}{2}=0,5$

$P(\text{cruz})=\cfrac{1}{2}=0,5$

ดังนั้น เพื่อหาความน่าจะเป็นที่จะได้หัวจากการโยนเหรียญทั้งสามครั้ง เราต้องคูณความน่าจะเป็นที่จะได้หัวด้วยสาม:

$P(\text{cara}\cap \text{cara}\cap \text{cara})=0,5\cdot 0,5\cdot 0,5=0,125$

กล่าวโดยสรุป ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสามครั้งติดต่อกันคือ 12.5%

ด้านล่างนี้คุณมีเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่แสดงด้วยความน่าจะเป็นในแผนภาพต้นไม้ วิธีนี้จะทำให้คุณเห็นกระบวนการที่เราปฏิบัติตามได้ดีขึ้นเพื่อรับความน่าจะเป็นร่วม:

➤ ดู: แผนภาพต้นไม้คืออะไร?

กฎการคูณสำหรับเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา

ตอนนี้เราได้เห็นแล้วว่ากฎการคูณมีไว้สำหรับเหตุการณ์อิสระอย่างไร เรามาดูกันว่ากฎนี้จะเป็นอย่างไรสำหรับเหตุการณ์ที่ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์เนื่องจากสูตรจะแตกต่างกันเล็กน้อย

โปรดจำไว้ว่าเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาเป็นผลจากการทดลองสุ่มซึ่งความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นจะขึ้นอยู่กับกันและกัน นั่นคือ สองเหตุการณ์จะขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งที่เกิดขึ้นส่งผลต่อความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งที่เกิดขึ้น

➤ ดู: เหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาคืออะไร?

สูตรกฎการคูณสำหรับเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา

เมื่อเหตุการณ์สองเหตุการณ์ขึ้นต่อกัน กฎการคูณ บอกว่าความน่าจะเป็นร่วมของเหตุการณ์ทั้งสองที่เกิดขึ้นจะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่งเมื่อเกิดเหตุการณ์แรก

ดังนั้น สูตรสำหรับกฎการคูณสำหรับเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาคือ:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

ทอง:

$A$

และ

$B$

นี่เป็นเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาสองเหตุการณ์
$P(A\cap B)$

คือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B จะเกิดขึ้น
$P(A)$

คือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น
$P(B|A)$

คือความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ B ที่เกิดขึ้นเมื่อพิจารณาจากเหตุการณ์ A

➤ ดู: ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคืออะไร?

ตัวอย่างกฎการคูณสำหรับเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา

ในกล่องเปล่าเราใส่ลูกบอลสีน้ำเงิน 8 ลูก ลูกบอลสีส้ม 4 ลูก และลูกบอลสีเขียว 2 ลูก ถ้าเราจั่วลูกแรกแล้วอีกลูกหนึ่งโดยไม่นำลูกแรกที่ดึงกลับเข้าไปในกรอบ ความน่าจะเป็นที่ลูกแรกเป็นสีฟ้าและลูกที่สองสีส้มเป็นเท่าใด

ในกรณีนี้ เหตุการณ์จะขึ้นอยู่กับ เนื่องจากความน่าจะเป็นในการหยิบลูกบอลสีส้มในการจับฉลากครั้งที่สองขึ้นอยู่กับสีของลูกบอลในการจับฉลากครั้งแรก ดังนั้น ในการคำนวณความน่าจะเป็นร่วม เราจำเป็นต้องใช้สูตรกฎการคูณสำหรับเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีน้ำเงินในการจับฉลากครั้งแรกนั้นง่ายต่อการกำหนด เพียงหารจำนวนลูกบอลสีน้ำเงินด้วยจำนวนลูกบอลทั้งหมด:

$P(\text{bola azul})=\cfrac{8}{8+4+2}=\cfrac{8}{14}=0,57$

ในทางกลับกัน ความน่าจะเป็นที่จะจั่วลูกบอลสีส้มหลังจากหยิบลูกบอลสีน้ำเงินจะคำนวณแตกต่างกันเนื่องจากจำนวนลูกบอลสีส้มแตกต่างกัน และยิ่งไปกว่านั้น ตอนนี้มีลูกบอลน้อยกว่าหนึ่งลูกในกล่อง:

$P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\cfrac{4}{7+4+2}=\cfrac{4}{13}=0,31$

ดังนั้น ความน่าจะเป็นร่วมของการจั่วลูกบอลสีน้ำเงินก่อนแล้วจึงลูกบอลสีส้มจึงคำนวณโดยการคูณความน่าจะเป็นทั้งสองที่พบด้านบน:

$\begin{array}{l}P(\text{bola azul}\cap\text{bola naranja})=\\[2ex]=P(\text{bola azul})\cdot P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\\[2ex]=0,57\cdot 0,31= \\[2ex]=0,18\end{array}$

➤ โปรดดู: กฎการเพิ่ม

แก้แบบฝึกหัดกฎการคูณ

แบบฝึกหัดที่ 1

ในเมืองมีศูนย์รับเลี้ยงเด็กเพียง 3 แห่ง: เด็ก 60% ไปที่ศูนย์รับเลี้ยงเด็ก A, 30% ไปที่ศูนย์รับเลี้ยงเด็ก B และ 10% สำหรับศูนย์รับเลี้ยงเด็ก C นอกจากนี้ ในศูนย์รับเลี้ยงเด็กทั้งสามแห่งนั้น 55% เป็นเด็กผู้หญิง คำนวณความน่าจะเป็นต่อไปนี้:

ความน่าจะเป็นที่เมื่อสุ่มเลือกเด็กจากสถานรับเลี้ยงเด็ก B จะเป็นเด็กผู้หญิง
ความน่าจะเป็นที่เมื่อสุ่มเลือกเด็กจากศูนย์รับเลี้ยงเด็กแห่งใดแห่งหนึ่ง จะเป็นเด็กผู้ชาย

ดูวิธีแก้ปัญหา

หากสัดส่วนของเด็กผู้หญิงในศูนย์รับเลี้ยงเด็กทั้งหมดคือ 55% เปอร์เซ็นต์ของเด็กผู้ชายจะคำนวณโดยการลบ 1 ลบ 0.55:

$P(\text{chico})=1-0,55=0,45$

ตอนนี้เรารู้ความน่าจะเป็นทั้งหมดแล้ว เราสามารถสร้างแผนผังที่มีความน่าจะเป็นของความเป็นไปได้ทั้งหมดได้:

การออกกำลังกายบนต้นไม้ได้รับการแก้ไขแล้ว

ในกรณีนี้ เหตุการณ์ต่างๆ มีความเป็นอิสระ เนื่องจากความน่าจะเป็นที่เป็นเด็กผู้ชายหรือเด็กผู้หญิงไม่ได้ขึ้นอยู่กับสถานรับเลี้ยงเด็กที่เลือก ดังนั้น เพื่อหาความน่าจะเป็นที่จะสุ่มเลือกเด็กผู้หญิงจากสถานรับเลี้ยงเด็ก B คุณต้องคูณความน่าจะเป็นในการเลือกสถานรับเลี้ยงเด็ก B ด้วยความน่าจะเป็นในการเลือกเด็กผู้หญิง:

$P(\text{chica guarder\'ia B})=0,30\cdot 0,55=\bm{0,165}$

ในทางกลับกัน เพื่อพิจารณาความน่าจะเป็นในการเลือกเด็กผู้ชายในสถานรับเลี้ยงเด็กแห่งใดแห่งหนึ่ง เราต้องคำนวณความน่าจะเป็นในการเลือกเด็กผู้ชายสำหรับสถานรับเลี้ยงเด็กแต่ละแห่งก่อน แล้วจึงบวกเข้าด้วยกัน:

$P(\text{chico guarder\'ia A})=0,6\cdot 0,45=0,27$

$P(\text{chico guarder\'ia B})=0,30\cdot 0,45=0,135$

$P(\text{chico guarder\'ia C})=0,10\cdot 0,45=0,045$

$P(\text{chico guarder\'ia A, B o C})=0,27+0,135+0,045=\bm{0,45}$

แบบฝึกหัดที่ 2

มีการศึกษาปีการเงินของบริษัท 25 แห่งในประเทศหนึ่ง และราคาหุ้นของบริษัทเปลี่ยนแปลงอย่างไรโดยขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ทางเศรษฐกิจของปีนั้น คุณสามารถดูข้อมูลที่รวบรวมได้ในตารางฉุกเฉินต่อไปนี้:

แบบฝึกหัดความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขได้รับการแก้ไขแล้ว

มีความเป็นไปได้มากน้อยเพียงใดที่บริษัทจะทำกำไรและราคาหุ้นจะสูงขึ้นด้วย?

ดูวิธีแก้ปัญหา

ในกรณีนี้ เหตุการณ์ต่างๆ ขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นที่หุ้นจะขึ้นหรือลงขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ทางเศรษฐกิจ ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องใช้สูตรกฎการคูณสำหรับเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา:

$P(\text{beneficio}\cap\text{precio sube})}=P(\text{beneficio})\cdot P(\text{precio sube}|\text{beneficio})$

ดังนั้นเราจึงคำนวณความน่าจะเป็นที่บริษัทจะทำกำไรได้เป็นอันดับแรก และประการที่สอง ความน่าจะเป็นที่หุ้นของบริษัทจะเพิ่มขึ้นเมื่อมีกำไรทางเศรษฐกิจ:

$P(\text{beneficio})=\cfrac{14}{25}=0,56$

$P(\text{precio sube}|\text{beneficio})=\cfrac{10}{14}=0,71$

ต่อไปเราจะแทนที่ค่าที่คำนวณได้ลงในสูตรและคำนวณความน่าจะเป็นร่วม:

$\begin{array}{l}P(\text{beneficio}\cap\text{precio sube})}=\\[2ex]=P(\text{beneficio})\cdot P(\text{precio sube}|\text{beneficio})=\\[2ex]= 0,56\cdot 0,71=\\[2ex] =\bm{0,4} \end{array}$

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม