ทฤษฎีความน่าจะเป็น

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 1, 2023 ความน่าจะเป็น 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะอธิบายว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นคืออะไรและใช้เพื่ออะไร ดังนั้นคุณจะพบกับแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น ตลอดจนคุณสมบัติและกฎของทฤษฎีความน่าจะเป็น

ทฤษฎีความน่าจะเป็นคืออะไร?

ทฤษฎีความน่าจะเป็น คือชุดของกฎและคุณสมบัติที่ใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นของปรากฏการณ์สุ่ม ดังนั้น ทฤษฎีความน่าจะเป็นช่วยให้เราทราบว่าผลลัพธ์ใดของการทดลองสุ่มมีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นมากที่สุด

โปรดทราบว่าปรากฏการณ์สุ่มเป็นผลที่ได้จากการทดลองซึ่งไม่สามารถคาดเดาผลลัพธ์ได้ แต่ขึ้นอยู่กับโอกาส ทฤษฎีความน่าจะเป็นจึงเป็นชุดของกฎที่ช่วยให้เราสามารถกำหนดความน่าจะเป็นของปรากฏการณ์สุ่มที่เกิดขึ้นได้

ตัวอย่างเช่น เมื่อเราโยนเหรียญ เราจะได้ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองแบบ: หัวหรือก้อย เราสามารถใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้หัว ซึ่งในกรณีนี้คือ 50%

ตลอดประวัติศาสตร์ หลายคนมีส่วนร่วมในการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็น โดยที่ Cardano, Laplace, Gauss และ Kolmogorov มีความโดดเด่น

➤ ดู: สูตรความน่าจะเป็น

พื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น

พื้นที่ตัวอย่าง

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น พื้นที่ตัวอย่าง คือชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองแบบสุ่ม

สัญลักษณ์ของพื้นที่ตัวอย่างคืออักษรกรีกตัวพิมพ์ใหญ่ Omega (Ω) แม้ว่าจะสามารถแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ E ก็ได้

ตัวอย่างเช่น พื้นที่ตัวอย่างสำหรับการกลิ้งแม่พิมพ์คือ:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

➤ ดู: พื้นที่ตัวอย่าง

เหตุการณ์

ในทฤษฎีความน่าจะ เป็น เหตุการณ์ (หรือเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น) คือผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดลองแบบสุ่ม ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จึงเป็นค่าที่บ่งชี้ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น

ตัวอย่างเช่น ในการโยนเหรียญมีสองเหตุการณ์: “หัว” และ “ก้อย”

มีเหตุการณ์หลายประเภท:

เหตุการณ์เบื้องต้น (หรือเหตุการณ์ธรรมดา): แต่ละผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดสอบ
เหตุการณ์รวม: นี่เป็นเซตย่อยของพื้นที่ตัวอย่าง
เหตุการณ์บางอย่าง: นี่คือผลลัพธ์ของประสบการณ์แบบสุ่มที่จะเกิดขึ้นเสมอ
เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้: นี่คือผลลัพธ์ของการทดลองสุ่มที่จะไม่มีวันเกิดขึ้น
เหตุการณ์ที่เข้ากันได้: สองเหตุการณ์สามารถเข้ากันได้เมื่อมีเหตุการณ์พื้นฐานเหมือนกัน
เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้: สองเหตุการณ์เข้ากันไม่ได้เมื่อไม่ได้แชร์เหตุการณ์พื้นฐานใดๆ
เหตุการณ์อิสระ: สองเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกัน หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นไม่ส่งผลกระทบต่อความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่ง
เหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกัน: สองเหตุการณ์จะขึ้นอยู่กับถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นเปลี่ยนความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งที่เกิดขึ้น
เหตุการณ์ที่ขัดแย้งกับเหตุการณ์อื่น: เหตุการณ์นั้นซึ่งเกิดขึ้นเมื่อเหตุการณ์อื่นไม่เกิดขึ้น

➤ ดู: ประเภทกิจกรรม

สัจพจน์ของความน่าจะเป็น

สัจพจน์ของความน่าจะเป็นคือ:

ความน่าจะเป็นสัจพจน์ 1 : ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ไม่สามารถเป็นลบได้

$0\leq P(A)\leq 1$

ความน่าจะเป็นสัจพจน์ 2 : ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างคือ 1

$P(\Omega)=1$

ความน่าจะเป็น สัจพจน์ 3 : ความน่าจะเป็นของชุดเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมด

$A\cap B= \varnothing \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

➤ ดู: สัจพจน์ของความน่าจะเป็น

คุณสมบัติความน่าจะเป็น

คุณสมบัติความน่าจะเป็นคือ:

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งมีค่าเท่ากับ 1 ลบด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้จะเป็นศูนย์เสมอ

$P(\varnothing)=0$

หากมีเหตุการณ์รวมอยู่ในเหตุการณ์อื่น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์แรกจะต้องน้อยกว่าหรือเท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สอง

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์สองเหตุการณ์จะรวมกันเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแยกกัน ลบด้วยความน่าจะเป็นที่จุดตัดกัน

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

เมื่อพิจารณาจากชุดของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบ 2 x 2 ความน่าจะเป็นร่วมกันจะคำนวณโดยการบวกความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของแต่ละเหตุการณ์

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เบื้องต้นทั้งหมดในพื้นที่ตัวอย่างเท่ากับ 1

$\Omega=\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$

$P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)=1$

➤ ดู: คุณสมบัติของความน่าจะเป็น

กฎความน่าจะเป็น

กฎของลาปลาซ

กฎของลาปลาซ คือกฎความน่าจะเป็นที่ใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในพื้นที่ตัวอย่าง

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กฎของลาปลาซกล่าวว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจะเท่ากับจำนวนกรณีที่น่าพอใจหารด้วยจำนวนกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด สูตรกฎของลาปลาซจึงเป็นดังนี้:

$P(A)=\cfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$

ตัวอย่างเช่น ถ้าเราใส่ลูกบอลสีเขียว 5 ลูก, สีน้ำเงิน 4 ลูก และลูกบอลสีเหลือง 2 ลูกลงในถุง เราจะสามารถหาความน่าจะเป็นที่จะสุ่มจับลูกบอลสีเขียวโดยใช้กฎของลาปลาซ:

$P(\text{bola verde})=\cfrac{5}{5+4+2}=0,45$

➤ ดู: กฎลาปลาซ (ความน่าจะเป็น)

กฎผลรวม

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น กฎผลรวม (หรือกฎการบวก) บอกว่าผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สองเหตุการณ์เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแยกกัน ลบด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งสองที่เกิดขึ้นในเวลาเดียวกัน เวลา. .

ดังนั้น สูตรสำหรับกฎการบวกจึงเป็นดังนี้:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

คุณสามารถดูแบบฝึกหัดทีละขั้นตอนของการใช้กฎการเพิ่มได้ในลิงค์ต่อไปนี้:

➤ ดู: กฎการบวก (ความน่าจะเป็น)

กฎการคูณ

กฎการคูณ (หรือกฎผลคูณ) บอกว่าความน่าจะเป็นร่วมกันของเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นที่แต่ละเหตุการณ์จะเกิดขึ้น

สูตรสำหรับกฎการคูณจึงเป็นดังนี้:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

อย่างไรก็ตาม สูตรสำหรับกฎการคูณจะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์เป็นอิสระหรือขึ้นอยู่กับ คุณสามารถดูว่าสูตรสำหรับกฎการคูณสำหรับเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาคืออะไร และตัวอย่างการใช้กฎนี้โดยคลิกที่นี่:

➤ ดู: กฎการคูณ (ความน่าจะเป็น)

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม