กฎของเบนฟอร์ด

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 3, 2023 ความน่าจะเป็น 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะอธิบายว่ากฎของเบนฟอร์ดคืออะไร นอกจากนี้ คุณจะสามารถดูได้ว่ากฎของเบนฟอร์ดถูกค้นพบอย่างไร และกฎทางสถิตินี้มีประโยชน์อย่างไร

กฎของเบนฟอร์ดคืออะไร?

กฎของเบนฟอร์ด หรือที่เรียกว่า กฎของตัวเลขตัวแรก เป็นกฎทางสถิติที่บอกว่าความน่าจะเป็นที่ตัวเลขตัวแรกของข้อมูลคือ 1 มากกว่าความน่าจะเป็นที่เป็นตัวเลขอื่น

กล่าวอีกนัยหนึ่ง กฎของเบนฟอร์ดกล่าวว่าในชุดข้อมูลตัวเลขที่มีอยู่ในชีวิตจริง เลข 1 จะเป็นตัวเลขที่ซ้ำกันมากที่สุดในฐานะหลักแรกของข้อมูล

นอกจากนี้ ยิ่งตัวเลขสูงเท่าไร โอกาสที่จะจบเป็นที่หนึ่งก็จะน้อยลงเท่านั้น ดังนั้น ตัวเลขแรกจึงน่าจะเป็น 1 มากกว่า 2 แต่ 2 มีแนวโน้มมากกว่า 3, 3 มีแนวโน้มมากกว่า 4 และอื่นๆ

กฎหมายของเบนฟอร์ดเป็นหนี้ชื่อของแฟรงก์ เบนฟอร์ด ชาวอเมริกัน แม้ว่าเขาจะไม่ได้ประดิษฐ์มันขึ้นมา แต่ Benford ก็เผยแพร่กฎทางสถิตินี้ให้แพร่หลาย ด้านล่างนี้เราจะเห็นที่มาของกฎของเบนฟอร์ด

สูตรกฎของเบนฟอร์ด

กฎของเบนฟอร์ดระบุว่าความน่าจะเป็นที่หลักแรกเป็นจำนวนหนึ่งจะเท่ากับลอการิทึมของหนึ่งบวกหนึ่งส่วนจำนวนนั้น

สูตรสำหรับกฎของเบนฟอร์ด จึงเป็นดังนี้:

$\begin{array}{c}\displaystyle P[X=d]=\log_{10}\left(1+\frac{1}{d}\right)\\[4ex]d=1,2,3,\ldots ,9\end{array}$

ดังนั้น จากสูตรกฎของเบนฟอร์ด เราสามารถหาความน่าจะเป็นของแต่ละจำนวนที่เป็นเลขหลักแรกของรายการข้อมูลได้ ในตารางต่อไปนี้ คุณสามารถดูเปอร์เซ็นต์ของความน่าจะเป็นทั้งหมดได้:

รูป	ความน่าจะเป็นนั้น เป็นหมายเลขแรก
1	30.1%
2	17.6%
3	12.5%
4	9.7%
5	7.9%
6	6.7%
7	5.8%
8	5.1%
9	4.6%

นอกจากนี้ ด้านล่างนี้ คุณจะเห็นฮิสโตแกรมซึ่งแสดงความน่าจะเป็นทั้งหมดของกฎของเบนฟอร์ดเป็นกราฟิก:

ประวัติกฎของเบนฟอร์ด

ในปี ค.ศ. 1881 นักคณิตศาสตร์ ไซมอน นิวคอมบ์ ได้อนุมานกฎของเบนฟอร์ดได้ เมื่อเขาค้นพบว่าหน้าแรกของตารางลอการิทึมถูกใช้มากกว่าหน้าสุดท้ายมาก ซึ่งหมายความว่าตัวเลขหลักแรกของตัวเลขมีโอกาสไม่เท่ากัน แต่ 1 นั้นบ่อยกว่า 2, 2 บ่อยกว่า 3 และต่อไปจนถึง 9

อย่างไรก็ตาม Newcomb ไม่ทิ้งหลักฐานทางสถิติว่ามีการปฏิบัติตามกฎนี้ เขาเพียงแค่หักค่าการสึกหรอของตารางลอการิทึมออก

ต่อมา โดยเฉพาะในปี 1938 นักฟิสิกส์ แฟรงก์ เบนฟอร์ด ก็ได้สังเกตการณ์แบบเดียวกันนี้ และยังได้ทำการทดลองเพื่อยืนยันด้วยประสบการณ์ด้วย ในชุดข้อมูลทางสถิติจำนวน 20,229 ค่าจากตัวอย่างที่แตกต่างกัน 20 ตัวอย่าง เขาได้ทำการศึกษาตัวเลขตัวแรกของแต่ละข้อมูล จากผลลัพธ์ที่ได้ เขาแสดงให้เห็นว่ากฎของเบนฟอร์ดเป็นไปตามนั้นและอนุมานสูตรที่ทำให้เขาคำนวณความน่าจะเป็นที่หลักแรกจะเป็นจำนวนหนึ่งได้ (เราเห็นสูตรนี้ด้านบน)

กล่าวโดยย่อ แม้ว่ากฎของเบนฟอร์ดจะถูกค้นพบครั้งแรกโดยไซมอน นิวโคมบ์ แต่เขาได้รับการตั้งชื่อตามแฟรงก์ เบนฟอร์ด เพราะเขาเป็นผู้ตรวจสอบกฎทางสถิตินี้

การประยุกต์กฎของเบนฟอร์ด

กฎของเบนฟอร์ดเป็นกฎทางสถิติที่พบการใช้งานในสาขาที่แตกต่างกันมาก ตัวอย่างเช่น กฎของเบนฟอร์ดมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านเศรษฐศาสตร์ ชีววิทยา และแม้กระทั่งการเมือง

ในทางเศรษฐศาสตร์ กฎของเบนฟอร์ดมักใช้เพื่อตรวจจับการจัดการข้อมูล เพราะหากชุดข้อมูลไม่เป็นไปตามกฎของเบนฟอร์ด ก็แสดงว่าข้อมูลนั้นถูกจัดการ ตัวอย่างเช่น กฎหมายนี้ใช้เพื่อตรวจจับกรณีที่เป็นไปได้ของการฉ้อโกงภาษี

ควรสังเกตว่ากฎของเบนฟอร์ดไม่ได้ใช้เพื่อแสดงความจริงของปรากฏการณ์สุ่ม เนื่องจากผลลัพธ์นั้นค่อนข้างจะเป็นไปได้ ดังนั้นจึงไม่สามารถใช้กฎของ Benford เพื่อยืนยันผลลอตเตอรีได้

ในทางกลับกัน ในทางพันธุศาสตร์ กฎของเบนฟอร์ดสามารถใช้เพื่อวิเคราะห์ความแตกต่างของความยาวจีโนมระหว่างสิ่งมีชีวิตประเภทต่างๆ

ท้ายที่สุด มีการพยายามที่จะตรวจจับการฉ้อโกงของผู้มีสิทธิเลือกตั้งโดยใช้กฎหมายของ Benford แม้ว่าจะมีข้อสงสัยถึงประโยชน์ของกฎหมายในกรณีนี้ก็ตาม

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม