การกระจายแบบสมมาตร

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 5, 2023 สถิติ 0 ความคิดเห็น

ในบทความนี้ คุณจะได้เรียนรู้ว่าการแจกแจงแบบสมมาตรคืออะไร ตัวอย่างของการแจกแจงแบบสมมาตร และวิธีการระบุได้ว่าการแจกแจงเป็นแบบสมมาตรหรือไม่สมมาตร

การกระจายตัวแบบสมมาตรคืออะไร?

ในทางสถิติ การแจกแจงแบบสมมาตร คือค่าที่มีค่าทางด้านซ้ายของค่าเฉลี่ยเท่ากับค่าทางด้านขวาของค่าเฉลี่ย กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในการแจกแจงแบบสมมาตร ค่าเฉลี่ยคือแกนสมมาตร

ตัวอย่างเช่น การแจกแจงแบบปกติคือการแจกแจงแบบสมมาตร

ในการแจกแจงแบบสมมาตรทั้งหมด ค่าเฉลี่ยจะเท่ากับค่ามัธยฐาน แต่ถ้าการแจกแจงเป็นรูปแบบเดียวด้วย (โหมดทางสถิติเป็นค่าเดียว) ค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และโหมดจะเท่ากัน

ตามตรรกะ เพื่อให้เข้าใจอย่างถ่องแท้ว่าการแจกแจงแบบสมมาตรคืออะไร คุณต้องเข้าใจให้ชัดเจนว่าค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และโหมดคืออะไร คุณสามารถทบทวนความหมายของแนวคิดทางสถิติเหล่านี้ได้ที่นี่:

➤ ดู: ค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และโหมดคืออะไร

ตัวอย่างของการแจกแจงแบบสมมาตร

เมื่อพิจารณาถึงคำจำกัดความของการแจกแจงแบบสมมาตร ตัวอย่างของการแจกแจงประเภทนี้จะแสดงไว้ด้านล่าง:

ดังที่กราฟแสดง การกระจายตัวมีความสมมาตรเนื่องจากค่าเฉลี่ยอยู่ตรงกลางของข้อมูลทั้งหมด กล่าวคือ ส่วนท้ายทางด้านซ้ายของเส้นโค้งจะเหมือนกับส่วนท้ายทางด้านขวา ในกรณีนี้ ค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และโหมดจะเท่ากัน เนื่องจากโหมดเป็นแบบยูนิโมดัล

สองตัวอย่างที่ชัดเจนของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบสมมาตรสองประเภทที่แตกต่างกันคือการแจกแจงแบบปกติและการแจกแจงแบบสม่ำเสมอเนื่องจากมีค่าทางซ้ายและขวาของค่าเฉลี่ยเท่ากัน

ในทางกลับกัน การแจกแจงยังสามารถเป็นแบบสมมาตรและแบบไบโมดัลได้ กล่าวคือ มีสองโหมด ดูตัวอย่างต่อไปนี้:

ดังที่คุณเห็นในตัวอย่างนี้ การแจกแจงแบบสองโมดัลสามารถเป็นแบบสมมาตรได้ เนื่องจากสามารถมีค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐานอยู่ตรงกลางโดยไม่คำนึงถึงค่าอื่นๆ อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ โหมดไม่จำเป็นต้องเท่ากับค่าเฉลี่ยและโหมด

การแจกแจงประเภทอื่นตามความสมมาตร

นอกจากการแจกแจงแบบสมมาตรแล้ว ยังมีการแจกแจงแบบอสมมาตรอีกสองประเภทอีกด้วย

การกระจายแบบสมมาตร : การแจกแจงมีจำนวนค่าทางซ้ายและขวาของค่าเฉลี่ยเท่ากัน
การกระจายแบบเบ้เชิงบวก : การแจกแจงมีค่าที่แตกต่างกันไปทางขวาของค่าเฉลี่ยมากกว่าทางซ้าย
การกระจายแบบเบ้เชิงลบ : การแจกแจงมีค่าที่แตกต่างกันทางด้านซ้ายของค่าเฉลี่ยมากกว่าทางด้านขวา

จะทราบได้อย่างไรว่าการแจกแจงเป็นแบบสมมาตร

ในการพิจารณาว่าการแจกแจงมีความสมมาตรหรือไม่ เราต้องคำนวณสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของเพียร์สัน โดยมีสูตรดังนี้:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

ทอง

$A_p$

คือสัมประสิทธิ์เพียร์สัน

$\mu$

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

$Mo$

โหมด (สถิติ) และ

$\sigma$

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ดังนั้น ขึ้นอยู่กับสัญลักษณ์ของสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของเพียร์สัน การกระจายตัวจะสมมาตรหรือไม่สมมาตร:

หากค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของเพียร์สันเป็นค่าบวก แสดงว่าการกระจายตัวมีความเบ้ในเชิงบวก
หากค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของเพียร์สันเป็นลบ แสดงว่าการกระจายนั้นเบ้ในเชิงลบ
หากค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของเพียร์สันเป็นศูนย์ แสดงว่าการกระจายมีความสมมาตร

อย่างไรก็ตาม ค่าสัมประสิทธิ์เพียร์สันสามารถคำนวณได้เฉพาะในกรณีที่การแจกแจงเป็นแบบยูนิโมดอลเท่านั้น มิฉะนั้น จำเป็นต้องใช้ค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของฟิชเชอร์ ซึ่งมีสูตรดังนี้:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

ทอง

$\mu$

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

$\sigma$

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและ

$N$

จำนวนข้อมูลทั้งหมด

การตีความค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของฟิชเชอร์จะเหมือนกับสัมประสิทธิ์เพียร์สัน หากเป็นบวก หมายความว่าการกระจายตัวไม่สมมาตรเชิงบวก หากเป็นลบ การกระจายตัวจะไม่สมมาตรเชิงลบ และหากเป็นศูนย์ แสดงว่าการกระจายตัวมีความสมมาตร

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม