การดำเนินงานที่มีการจัดกิจกรรม

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 6, 2023 ความน่าจะเป็น 0 ความคิดเห็น

ที่นี่เราจะอธิบายว่าการดำเนินการใดบ้างที่สามารถดำเนินการกับเหตุการณ์ได้ และวิธีการคำนวณการดำเนินการแต่ละประเภทกับเหตุการณ์แต่ละประเภท นอกจากนี้คุณยังสามารถฝึกฝนด้วยแบบฝึกหัดทีละขั้นตอนในการปฏิบัติการกับกิจกรรมต่างๆ

ประเภทของการดำเนินการกับเหตุการณ์

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น การดำเนินการกับเหตุการณ์มี 3 ประเภท ได้แก่

Union of events : ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้น
จุดตัดกันของเหตุการณ์ : คือความน่าจะเป็นร่วมของเหตุการณ์ตั้งแต่ 2 เหตุการณ์ขึ้นไป
ความแตกต่างของเหตุการณ์ : นี่คือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นแต่อีกเหตุการณ์หนึ่งไม่เกิดขึ้นพร้อมกัน

เพียงกำหนดการดำเนินการเหตุการณ์แต่ละประเภท เป็นการยากที่จะเข้าใจว่าการดำเนินการแต่ละประเภทมีการดำเนินการอย่างไร ดังนั้นเราจะอธิบายการดำเนินการทั้งสามโดยละเอียดด้านล่าง

การรวมกันของเหตุการณ์

การรวมกันของสองเหตุการณ์ A และ B คือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A, เหตุการณ์ B หรือทั้งสองเหตุการณ์เกิดขึ้นในเวลาเดียวกัน

สัญลักษณ์ของการรวมกันระหว่างสองเหตุการณ์ที่แตกต่างกันคือ U ดังนั้นการรวมกันของสองเหตุการณ์จึงแสดงด้วย U ตรงกลางตัวอักษรสองตัวที่แสดงถึงเหตุการณ์นั้น

$A\cup B$

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ทั้งสอง จะรวมกันจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของแต่ละเหตุการณ์ ลบด้วยความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ทั้งสองจะตัดกัน

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

ตัวอย่างเช่น เราจะคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ “ทอยเลขคู่” หรือ “ทอยเลขมากกว่า 4” เมื่อทอยลูกเต๋า

มีความเป็นไปได้สามประการที่จะได้เลขคู่เมื่อทอยลูกเต๋า (2, 4 และ 6) ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นคือ:

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

ในทางกลับกัน มีเพียงสองตัวเท่านั้นที่มากกว่าสี่ (5 และ 6) ความน่าจะเป็นคือ:

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

และจุดตัดกันของทั้งสองเหตุการณ์ตรงกับตัวเลขที่ปรากฏในทั้งสองเหตุการณ์ ดังนั้น:

$A\cap B=\{6\}$

$P(A\cap B)=\cfrac{1}{6}=0,167$

กล่าวโดยสรุป เมื่อเข้าร่วมกิจกรรม A และ B ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นจะเป็น:

$\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}$

จุดตัดของเหตุการณ์

จุดตัดกันของเหตุการณ์ A และ B คือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A และ B จะเกิดขึ้นพร้อมกัน

สัญลักษณ์จุดตัดกันของเหตุการณ์สองเหตุการณ์จะแสดงด้วยรูปตัว U กลับหัว

$A\cap B$

ความน่าจะเป็นที่จุดตัดกันของสองเหตุการณ์ จะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์แยกจากกัน

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

แน่นอนว่า ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่จุดตัดกันของเหตุการณ์สองเหตุการณ์ ทั้งสองเหตุการณ์จะต้องเข้ากันได้

➤ ดู: กิจกรรมใดบ้างที่เข้ากันได้?

ตามตัวอย่าง เราจะค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ “ได้เลขคู่” และ “ได้ตัวเลขที่มากกว่า 4” มาตัดกันระหว่างการทอยลูกเต๋า

ตามที่เราคำนวณไว้ข้างต้น ความน่าจะเป็นที่แต่ละเหตุการณ์จะเกิดขึ้นแยกกันคือ:

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จุดตัดกันของเหตุการณ์ทั้งสองจะเป็นการคูณความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์:

$\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,5\cdot 0,33\\[2ex] &=0,167\end{aligned}$

ความแตกต่างของเหตุการณ์

ผลต่างของสองเหตุการณ์ A ลบ B สอดคล้องกับเหตุการณ์เบื้องต้นทั้งหมดของ A ซึ่งไม่อยู่ใน B กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในผลต่างของสองเหตุการณ์ A ลบ B เหตุการณ์ A เป็นไปตามนั้น แต่เหตุการณ์ B ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้

$A-B$

ความน่าจะเป็นของความแตกต่างระหว่างสองเหตุการณ์ A และ B เท่ากับความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A ลบด้วยความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของเหตุการณ์พื้นฐานที่มีร่วมกันโดย A และ B

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$

ตามตัวอย่างเดียวกันกับการดำเนินการสองประเภทก่อนหน้านี้ เราจะกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ที่เกิดขึ้นจากผลต่างของเหตุการณ์ “การได้เลขคู่” ลบ “การได้ตัวเลขที่มากกว่า 4” เมื่อทอยลูกเต๋า

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A, B และทางแยกที่เกิดขึ้นมีดังนี้ (คุณสามารถดูการคำนวณโดยละเอียดด้านบน):

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

$A\cap B= \{6\}$

$P(A\cap B)=\cfrac{1}{6}= 0,167$

ความน่าจะเป็นของความแตกต่างระหว่างสองเหตุการณ์ที่ปรากฏคือ:

$\begin{aligned}P(A-B)&=P(A)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5-0,167\\[2ex] & =0,33\end{aligned}$

เพื่อความอยากรู้อยากเห็น ผลต่างของเหตุการณ์ AB มีคุณสมบัติเทียบเท่ากับจุดตัดระหว่างเหตุการณ์ A กับเหตุการณ์คู่สม (หรือตรงกันข้าม) ของ B

$A-B=A\cap\overline{B}$

➤ ดู: เหตุการณ์เสริมคืออะไร?

แก้แบบฝึกหัดปฏิบัติการกับเหตุการณ์

แบบฝึกหัดที่ 1

หากคุณทอยลูกเต๋าหกด้าน ความน่าจะเป็นที่จะได้เลขคี่หรือเลขน้อยกว่า 3 เป็นเท่าใด

ดูวิธีแก้ปัญหา

ในแบบฝึกหัดนี้ เราต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้น ดังนั้น เราต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ทั้งสองจะรวมกัน

ดังนั้นเราจึงคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้เลขคี่ก่อนโดยใช้กฎของลาปลาซ:

$P(\text{n\'umero impar})=\cfrac{3}{6}=0,5$

ประการที่สอง เรากำหนดความน่าจะเป็นที่จะได้ตัวเลขที่น้อยกว่า 3:

$P(\text{n\'umero menor que 3})=\cfrac{2}{6}=0,33$

ทีนี้ลองคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เบื้องต้นที่เกิดซ้ำในเหตุการณ์ซึ่งก็คือเลข 1 เท่านั้น (คี่น้อยกว่า 3 เท่านั้น):

$P(\text{n\'umero impar y menor que 3})=\cfrac{1}{6}=0,167$

และสุดท้าย เราใช้สูตรสำหรับการรวมกันของสองเหตุการณ์เพื่อค้นหาความน่าจะเป็น:

$\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}$

แบบฝึกหัดที่ 2

ในกล่องเราใส่ลูกบอลสีส้ม 3 ลูก ลูกบอลสีน้ำเงิน 2 ลูก และลูกบอลสีขาว 5 ลูก เราทำการทดลองสุ่มโดยหยิบลูกบอลขึ้นมา ใส่กลับเข้าไปในกล่อง จากนั้นนำลูกบอลอีกลูกออกมา ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีน้ำเงินลูกแรกและลูกสีส้มลูกที่สองเป็นเท่าใด

ดูวิธีแก้ปัญหา

ในการแก้ปัญหานี้ เราต้องคำนวณจุดตัดของเหตุการณ์ทั้งสอง เนื่องจากเราต้องการให้เหตุการณ์เบื้องต้นทั้งสองเป็นจริง

ดังนั้นเราจึงคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีน้ำเงินก่อนโดยใช้กฎของลาปลาซ:

$P(\text{sacar bola azul})=\cfrac{2}{3+2+5}=0,2$

จากนั้นเราจะหาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีส้ม:

$P(\text{sacar bola naranja})=\cfrac{3}{3+2+5}=0,3$

และสุดท้าย เราคำนวณความน่าจะเป็นที่จุดตัดกันของเหตุการณ์ทั้งสองโดยการคูณความน่าจะเป็นทั้งสองที่พบ:

$\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,2\cdot 0,3\\[2ex] &=0,06\end{aligned}$

โดยสรุป มีโอกาสเพียง 6% เท่านั้นที่จะได้ลูกบอลสีน้ำเงินในการลองครั้งแรกและลูกบอลสีส้มในการลองครั้งที่สอง

แบบฝึกหัดที่ 3

ความน่าจะเป็นที่มาร์ตาสอบผ่านคือ 1/3 และความน่าจะเป็นที่ฮวนจะสอบผ่านแบบเดียวกันคือ 2/5 ความน่าจะเป็นที่ Marta สำเร็จและ Juan ล้มเหลวคือเท่าไร?

ดูวิธีแก้ปัญหา

ในแบบฝึกหัดนี้ เราจำเป็นต้องคำนวณความแตกต่างระหว่างทั้งสองเหตุการณ์ เพราะเราต้องการให้ Marta อนุมัติ แต่ไม่ใช่ Juan ในการดำเนินการนี้ เพียงใช้สูตรสำหรับการดำเนินการประเภทนี้กับเหตุการณ์:

$\begin{array}{l}\displaystyle A-B =A\cap\overline{B}=\\[2ex]\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot \left(1-\frac{2}{5}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}=\\[3ex] =\cfrac{3}{15} = 0,2\end{array}$

ความน่าจะเป็นที่มาร์ทาสำเร็จและฮวนล้มเหลวในเวลาเดียวกันคือ 20%

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม

ประเภทของการดำเนินการกับเหตุการณ์

การรวมกันของเหตุการณ์

จุดตัดของเหตุการณ์

ความแตกต่างของเหตุการณ์

แก้แบบฝึกหัดปฏิบัติการกับเหตุการณ์

แบบฝึกหัดที่ 1

แบบฝึกหัดที่ 2

แบบฝึกหัดที่ 3

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

เพิ่มความคิดเห็น