การประมาณทวินามปกติ: คำจำกัดความและตัวอย่าง

ถ้า _ _ _ _ _

• µ = np
• σ = √ np(1-p)

ปรากฎว่าถ้า n มีขนาดใหญ่พอ เราก็สามารถใช้ การแจกแจงแบบปกติ เพื่อประมาณความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงทวินามได้ สิ่งนี้เรียกว่า การประมาณทวินามปกติ

หากต้องการให้ n “ใหญ่พอ” จะต้องเป็นไปตามเกณฑ์ต่อไปนี้:

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

เมื่อตรงตามเกณฑ์ทั้งสอง เราสามารถใช้การแจกแจงแบบปกติเพื่อตอบคำถามความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงทวินามได้

อย่างไรก็ตาม การแจกแจงแบบปกติเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง ในขณะที่การแจกแจงแบบทวินามเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องใช้การแก้ไขความต่อเนื่องเมื่อคำนวณความน่าจะเป็น

พูดง่ายๆ ก็คือ การแก้ไขความต่อเนื่อง คือชื่อที่กำหนดให้กับการบวกหรือลบ 0.5 จากค่า x ที่ไม่ต่อเนื่อง

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราต้องการหาความน่าจะเป็นที่เหรียญจะตกหัวน้อยกว่าหรือเท่ากับ 45 ครั้งในการเสี่ยง 100 ครั้ง นั่นคือเราต้องการหา P(X ≤ 45) หากต้องการใช้การแจกแจงแบบปกติเพื่อประมาณค่าการแจกแจงแบบทวินาม เราจะหา P(X ≤ 45.5) แทน

ตารางต่อไปนี้แสดงเวลาที่คุณควรบวกหรือลบ 0.5 ขึ้นอยู่กับประเภทของความน่าจะเป็นที่คุณพยายามค้นหา:

ตัวอย่างทีละขั้นตอนต่อไปนี้แสดงวิธีใช้การแจกแจงแบบปกติเพื่อประมาณค่าการแจกแจงแบบทวินาม

ตัวอย่าง: การประมาณค่าทวินามแบบปกติ

สมมติว่าเราต้องการทราบความน่าจะเป็นที่เหรียญจะตกบนหัวน้อยกว่าหรือเท่ากับ 43 ครั้งในการโยน 100 ครั้ง

ในสถานการณ์นี้เรามีค่าต่อไปนี้:

• n (จำนวนการทดลอง) = 100
• X (จำนวนความสำเร็จ) = 43
• p (ความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จในการทดลองที่กำหนด) = 0.50

ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่เหรียญจะตกหัวน้อยกว่าหรือเท่ากับ 43 เท่า เราสามารถใช้ขั้นตอนต่อไปนี้:

ขั้นตอนที่ 1: ตรวจสอบว่าขนาดตัวอย่างใหญ่พอที่จะใช้การประมาณปกติ

ก่อนอื่น เราต้องตรวจสอบว่าตรงตามเกณฑ์ต่อไปนี้:

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

ในกรณีนี้เรามี:

• np = 100*0.5 = 50
• n(1-p) = 100*(1 – 0.5) = 100*0.5 = 50

ตัวเลขทั้งสองมีค่ามากกว่า 5 ดังนั้นเราจึงสามารถใช้การประมาณปกติได้อย่างปลอดภัย

ขั้นตอนที่ 2: กำหนดการแก้ไขความต่อเนื่องที่จะใช้

จากตารางด้านบน เราจะเห็นว่าเราควรบวก 0.5 เมื่อทำงานกับความน่าจะเป็นในรูปของ X ≤ 43 ดังนั้น เราจะพบ P(X< 43.5)

ขั้นตอนที่ 3: ค้นหาค่าเฉลี่ย (μ) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (σ) ของการแจกแจงแบบทวินาม

µ = n*p = 100*0.5 = 50

σ = √ n*p*(1-p) = √ 100*.5*(1-.5) = √ 25 = 5

ขั้นตอนที่ 4: ค้นหาคะแนน z โดยใช้ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่พบในขั้นตอนก่อนหน้า

z = (x – μ) / σ = (43.5 – 50) / 5 = -6.5 / 5 = -1.3

ขั้นตอนที่ 5: ค้นหาความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับคะแนน z

เราสามารถใช้ เครื่องคิดเลข CDF ปกติ เพื่อค้นหาว่าพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางด้านซ้ายของ -1.3 คือ 0.0968

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เหรียญจะขึ้นหัวน้อยกว่าหรือเท่ากับ 43 เท่าในการเสี่ยง 100 ครั้งคือ 0.0968

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นสิ่งต่อไปนี้:

• เรามีสถานการณ์ที่ตัวแปรสุ่มตามการแจกแจงแบบทวินาม
• เราต้องการหาความน่าจะเป็นที่จะได้ค่าที่แน่นอนของตัวแปรสุ่มนี้
• เนื่องจากขนาดกลุ่มตัวอย่าง (n = 100 การทดลอง) มีขนาดใหญ่เพียงพอ เราจึงสามารถใช้การแจกแจงแบบปกติเพื่อประมาณค่าการแจกแจงแบบทวินามได้

นี่คือตัวอย่างที่สมบูรณ์ของวิธีการใช้การประมาณปกติเพื่อค้นหาความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงแบบทวินาม