การวัดรูปร่าง

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 4, 2023 สถิติ 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะอธิบายว่าการวัดรูปร่างคืออะไร ดังนั้นคุณจะได้เรียนรู้ว่าเมตริกรูปร่างใช้ทำอะไร ตีความเมตริกรูปร่างอย่างไร และคำนวณเมตริกทางสถิติประเภทนี้อย่างไร

การวัดรูปร่างคืออะไร?

ในสถิติ การวัดรูปร่าง เป็นตัวบ่งชี้ที่ช่วยให้เราสามารถอธิบายการแจกแจงความน่าจะเป็นตามรูปร่างของมันได้ นั่นคือ การวัดรูปร่างใช้เพื่อกำหนดว่าการแจกแจงมีลักษณะอย่างไรโดยไม่จำเป็นต้องสร้างกราฟ

การวัดรูปร่างมีสองประเภท: ความเบ้และความโด่ง ความเบ้บ่งชี้ว่าการกระจายตัวมีความสมมาตรเพียงใด ในขณะที่ความโด่งบ่งชี้ว่าการกระจายตัวมีความเข้มข้นเพียงใดรอบๆ ค่าเฉลี่ย

การวัดรูปร่างมีอะไรบ้าง?

เมื่อพิจารณาถึงคำจำกัดความของการวัดรูปร่าง ส่วนนี้จะแสดงประเภทของพารามิเตอร์ทางสถิติเหล่านี้

ในทางสถิติ เราแยกแยะรูปแบบการวัดได้สองแบบ:

ความเบ้ : ระบุว่าการแจกแจงเป็นแบบสมมาตรหรือไม่สมมาตร
Kurtosis – ระบุว่าการกระจายตัวสูงชันหรือราบเรียบ

ความไม่สมมาตร

ความไม่สมมาตรมีสามประเภท :

ความไม่สมดุลเชิงบวก : การแจกแจงมีค่าที่แตกต่างกันไปทางขวาของค่าเฉลี่ยมากกว่าทางซ้าย
สมมาตร : การแจกแจงมีจำนวนค่าทางซ้ายของค่าเฉลี่ยเท่ากับค่าทางขวาของค่าเฉลี่ย
ความเบ้เชิงลบ : การแจกแจงมีค่าที่แตกต่างกันทางด้านซ้ายของค่าเฉลี่ยมากกว่าทางด้านขวา

ค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมดุล

ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ หรือ ดัชนีความไม่สมมาตร เป็นค่าสัมประสิทธิ์ทางสถิติที่ช่วยระบุความไม่สมมาตรของการแจกแจง ดังนั้น ด้วยการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตร จึงเป็นไปได้ที่จะทราบประเภทของความไม่สมมาตรของการแจกแจงโดยไม่ต้องแสดงค่าเป็นกราฟิก

แม้ว่าจะมีสูตรที่แตกต่างกันในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตร และเราจะดูสูตรเหล่านี้ทั้งหมดด้านล่าง โดยไม่คำนึงถึงสูตรที่ใช้ การตีความค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรจะทำดังนี้:

หากค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้เป็นบวก การกระจายตัว จะเบ้ในเชิงบวก
หากค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้เป็นศูนย์ การกระจายจะเป็น แบบสมมาตร
หากค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้เป็นลบ การกระจายตัว จะเบ้ในเชิงลบ

สัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของฟิชเชอร์

ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของฟิชเชอร์เท่ากับโมเมนต์ที่สามเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยหารด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง ดังนั้น สูตรสำหรับสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของฟิชเชอร์ คือ:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

ในทำนองเดียวกัน สามารถใช้สูตรใดสูตรหนึ่งจากสองสูตรต่อไปนี้ในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ฟิชเชอร์ได้:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

ทอง

$E$

คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

$\mu$

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

$\sigma$

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและ

$N$

จำนวนข้อมูลทั้งหมด

ในทางกลับกัน หากข้อมูลถูกจัดกลุ่ม คุณสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

ในกรณีนี้.

$x_i$

มันเป็นเครื่องหมายของชั้นเรียนและ

$f_i$

ความถี่สัมบูรณ์ของหลักสูตร

สัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของเพียร์สัน

ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของเพียร์สันเท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยตัวอย่างและโหมดหารด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (หรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน) สูตรสำหรับสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของเพียร์สัน จึงเป็นดังนี้:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

ทอง

$A_p$

คือสัมประสิทธิ์เพียร์สัน

$\mu$

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

$Mo$

แฟชั่นและ

$\sigma$

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

โปรดทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของเพียร์สันสามารถคำนวณได้เฉพาะในกรณีที่เป็นการแจกแจงแบบ Unimodal เท่านั้น กล่าวคือ หากมีโหมดเดียวในข้อมูล

สัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของโบว์ลีย์

ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของ Bowley เท่ากับผลรวมของควอไทล์ที่สามบวกควอร์ไทล์ที่ 1 ลบด้วยค่ามัธยฐาน 2 เท่า หารด้วยผลต่างระหว่างควอร์ไทล์ที่ 3 และควอไทล์ที่ 1 สูตรสำหรับสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรนี้จึงเป็นดังนี้:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

ทอง

$Q_1$

และ

$Q_3$

คือควอไทล์ที่หนึ่งและสามตามลำดับ และ

$Me$

คือค่ามัธยฐานของการกระจายตัว

แบน

Kurtosis หรือที่เรียก ว่าความเบ้ บ่ง ชี้ว่าการกระจายตัวมีความเข้มข้นเพียงใดรอบๆ ค่าเฉลี่ย กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความโด่งบ่งชี้ว่าการกระจายตัวสูงชันหรือราบเรียบ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ยิ่งการกระจายตัวมีความโด่งมากเท่าใด ความชันก็จะยิ่งชันมากขึ้นเท่านั้น

คำเยินยอมีสามประเภท :

Leptokurtic : การกระจายตัวมีความชัดเจนมาก กล่าวคือข้อมูลมีความเข้มข้นอย่างมากรอบๆ ค่าเฉลี่ย แม่นยำยิ่งขึ้น การแจกแจงเลปโทเคอร์ติกถูกกำหนดให้เป็นการแจกแจงที่คมชัดกว่าการแจกแจงแบบปกติ
Mesokurtic : ความโด่งของการกระจายนั้นเทียบเท่ากับความโด่งของการกระจายแบบปกติ จึงถือว่าไม่แหลมหรือแบน
Platicurtic : การกระจายตัวจะแบนมาก กล่าวคือความเข้มข้นรอบๆ ค่าเฉลี่ยต่ำ อย่างเป็นทางการ การแจกแจงแบบพลาตีเคอร์ติกถูกกำหนดให้เป็นการแจกแจงที่ราบเรียบกว่าการแจกแจงแบบปกติ

โปรดทราบว่าความโด่งแบบต่างๆ ถูกกำหนดโดยการใช้ความโด่งของการแจกแจงแบบปกติเป็นข้อมูลอ้างอิง

ค่าสัมประสิทธิ์การราบเรียบ

สูตรสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ความโด่ง มีดังนี้:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

สูตรค่าสัมประสิทธิ์ความโด่งสำหรับ ข้อมูลที่จัดกลุ่มในตารางความถี่ :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

ในที่สุด สูตรสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ความโด่งสำหรับ ข้อมูลที่จัดกลุ่มตามช่วงเวลา :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(c_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

ทอง:

$g_2$

คือสัมประสิทธิ์ความโด่ง
$N$

คือจำนวนข้อมูลทั้งหมด
$x_i$

เป็นข้อมูลลำดับที่ 3 ในชุดข้อมูล
$\mu$

คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการแจกแจง
$\sigma$

คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (หรือค่าเบี่ยงเบนทั่วไป) ของการแจกแจง
$f_i$

คือความถี่สัมบูรณ์ของชุดข้อมูล it
$c_i$

เป็นเครื่องหมายคลาสของกลุ่มที่ ith

โปรดทราบว่าในสูตรสัมประสิทธิ์ความโด่งทั้งหมด 3 จะถูกลบออกเนื่องจากเป็นค่าความโด่งของการแจกแจงแบบปกติ ดังนั้นการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ความโด่งจึงทำได้โดยใช้ความโด่งของการแจกแจงแบบปกติเป็นข้อมูลอ้างอิง นี่คือสาเหตุที่บางครั้งในสถิติมีการกล่าวกันว่ามีการคำนวณ ความโด่งมากเกินไป

เมื่อคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ความโด่งแล้ว จะต้องตีความดังนี้เพื่อระบุว่าเป็นความโด่งแบบใด:

หากค่าสัมประสิทธิ์ความโด่งเป็นบวก แสดงว่าการกระจายตัวเป็น แบบเลพโทเคอร์ติก
หากค่าสัมประสิทธิ์ความโด่งเป็นศูนย์ แสดงว่าการกระจายเป็น แบบมีโซเคอร์ติก
ถ้าค่าสัมประสิทธิ์ความโด่งเป็นลบ แสดงว่าการกระจายตัวเป็น แบบพลาตีเคอร์ติก

มาตรการทางสถิติประเภทอื่น

คุณอาจสนใจหน่วยวัดทางสถิติใดๆ ต่อไปนี้ คลิกหน่วยวัดเพื่อดูว่ามันคืออะไรและคำนวณอย่างไร

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม