การกระจายพหุนาม

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 4, 2023 ความน่าจะเป็น 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะอธิบายว่าการแจกแจงแบบพหุนามในสถิติคืออะไร ดังนั้น คุณจะพบคำจำกัดความของการแจกแจงแบบพหุนาม สูตรของมันคืออะไร แบบฝึกหัดที่แก้ไขแล้ว และคุณสมบัติของการแจกแจงความน่าจะเป็นประเภทนี้คืออะไร นอกจากนี้ คุณจะสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของการแจกแจงพหุนามด้วยเครื่องคิดเลขออนไลน์ได้

การแจกแจงพหุนามคืออะไร?

การแจกแจงแบบพหุนาม (หรือ การแจกแจงแบบพหุนาม ) เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่อธิบายความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกันหลายเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นตามจำนวนครั้งที่กำหนดหลังการทดลองหลายครั้ง

นั่นคือ ถ้าการทดลองสุ่มสามารถส่งผลให้เกิดเหตุการณ์พิเศษสามเหตุการณ์ขึ้นไป และทราบความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแยกกัน การแจกแจงแบบพหุนามจะใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่เมื่อมีการทดลองหลายครั้ง จะมีเหตุการณ์จำนวนหนึ่งเกิดขึ้น เวลาทุกครั้ง

การแจกแจงแบบพหุนามจึงเป็นลักษณะทั่วไปของการแจกแจงแบบทวินาม

สูตรการกระจายพหุนาม

ในการคำนวณ ความน่าจะเป็นของการแจกแจงพหุนาม คุณต้องหาผลหารระหว่างแฟกทอเรียลของจำนวนข้อมูลทั้งหมดกับแฟกทอเรียลของจำนวนครั้งที่เกิดขึ้นของแต่ละเหตุการณ์ จากนั้นผลลัพธ์จะคูณด้วยผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ นำมาซึ่งจำนวนเหตุการณ์ดังกล่าว

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สูตรสำหรับการแจกแจงพหุนาม มีดังนี้

ทอง:

$P$

คือความน่าจะเป็นของการแจกแจงพหุนามที่คำนวณได้
$n$

คือจำนวนการทดสอบทั้งหมดที่ดำเนินการ
$x_i$

คือจำนวนครั้งที่เหตุการณ์เกิดขึ้น

$i$

.
$p_i$

คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น

$i$

.

👉 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขด้านล่างเพื่อคำนวณความน่าจะเป็นของตัวแปรที่ตามหลังการแจกแจงพหุนาม

ตัวอย่างการแจกแจงพหุนาม

เพื่อทำความเข้าใจแนวคิดของการแจกแจงแบบพหุนามให้เสร็จสิ้น เราได้แก้ตัวอย่างการคำนวณความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบพหุนามด้านล่างนี้แล้ว

ร้านค้าขายสินค้าที่แตกต่างกันสามรายการ เมื่อลูกค้าทำการซื้อ ความน่าจะเป็นที่จะเป็นผลิตภัณฑ์ A, ผลิตภัณฑ์ B หรือผลิตภัณฑ์ C คือ 30%, 15% และ 55% ตามลำดับ ค้นหาความน่าจะเป็นที่เมื่อร้านค้าขายได้ 8 หน่วย 2 รายการเป็นผลิตภัณฑ์ A 1 รายการ B และผลิตภัณฑ์ C 5 รายการ

ปัญหาที่กำหนดอยู่ภายใต้การแจกแจงแบบพหุนาม ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้สูตรสำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็นประเภทนี้:

$P=\cfrac{n!}{x_1!\cdot x_2!\cdot x_3!}\cdot p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\cdot p_3^{x_3}$

ดังนั้นเราจึงแทนที่ข้อมูลจากปัญหาลงในสูตรและทำการคำนวณความน่าจะเป็น:

$P=\cfrac{8!}{2!\cdot 1!\cdot 5!}\cdot 0,30^{2}\cdot 0,15^{1}\cdot 0,55^{5}=0,114$

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่คำแถลงปัญหาบอกว่าจะเกิดขึ้นคือ 11.4%

เครื่องคำนวณการกระจายพหุนาม

เขียนจำนวนครั้งของแต่ละเหตุการณ์ในช่องแรก และความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของแต่ละเหตุการณ์ในช่องที่สองตามลำดับเดียวกัน จากนั้นป้อนจำนวนความพยายามทั้งหมดที่ทำในช่องว่างสุดท้าย

ข้อมูลต้องคั่นด้วยช่องว่างและป้อนโดยใช้จุดเป็นตัวคั่นทศนิยม

คุณสมบัติของการแจกแจงพหุนาม

การแจกแจงพหุนามมีลักษณะดังต่อไปนี้:

ในการแจกแจงแบบพหุนาม ค่าที่คาดหวังของจำนวนครั้งที่เหตุการณ์ i เกิดขึ้นเมื่อทำการทดลอง n ครั้งจะเท่ากับจำนวนการทดลองทั้งหมดที่ดำเนินการคูณด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น

$E[x_i]=n\cdot p_i$

ในการแจกแจงแบบพหุนาม ความแปรปรวนสำหรับเหตุการณ์ i คำนวณโดยใช้นิพจน์ต่อไปนี้

$Var(x_i)=n\cdot p_i\cdot (1-p_i)$

ในทำนองเดียวกัน ความแปรปรวนร่วมระหว่างสองเหตุการณ์จะเท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองทั้งหมดคูณด้วยความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์คูณด้วย -1:

$Cov(x_i,x_j)=-n\cdot p_i\cdot p_j\qquad i\neq j$

ฟังก์ชันการสร้างโมเมนต์สำหรับการแจกแจงพหุนามคือ:

$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^k p_ie^{t_i}\right) ^n$

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม