วิธีค้นหาความน่าจะเป็นของ a และ b: พร้อมตัวอย่าง

เมื่อพิจารณาจากเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ A และ B “การค้นหาความน่าจะเป็นของ A และ B” หมายถึงการค้นหาความน่าจะเป็นที่ เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เกิดขึ้นทั้งคู่

โดยทั่วไปเราเขียนความน่าจะเป็นนี้ได้สองวิธี:

• P(A และ B) – แบบฟอร์มเขียน
• P(A∩B) – สัญกรณ์แบบฟอร์ม

วิธีที่เราคำนวณความน่าจะเป็นนี้ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์ A และ B มีความเป็นอิสระหรือขึ้นอยู่กับ

หาก A และ B เป็น อิสระต่อกัน สูตรที่เราใช้ในการคำนวณ P(A∩B) จะเป็นดังนี้:

 Independent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B)

ถ้า A และ B ขึ้นต่อกัน สูตรที่เราใช้ในการคำนวณ P(A∩B) จะเป็น:

 Dependent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B|A)

โปรดทราบว่า P(B|A) คือความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ B ที่เกิดขึ้น เมื่อกำหนด   เหตุการณ์ A เกิดขึ้น

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงวิธีการใช้สูตรเหล่านี้ในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างของ P(A∩B) สำหรับเหตุการณ์อิสระ

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงวิธีคำนวณ P(A∩B) เมื่อ A และ B เป็นเหตุการณ์อิสระ

ตัวอย่างที่ 1: ความน่าจะเป็นที่ทีมเบสบอลที่คุณชื่นชอบจะชนะ World Series คือ 1/30 และความน่าจะเป็นที่ทีมฟุตบอลที่คุณชื่นชอบจะชนะ Super Bowl คือ 1/32 ความน่าจะเป็นที่สองทีมโปรดของคุณจะชนะการแข่งขันชิงแชมป์ตามลำดับคือเท่าไร?

วิธีแก้ไข: ในตัวอย่างนี้ ความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจะเป็นอิสระจากกัน ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นทั้งสองอย่างจึงคำนวณได้ดังนี้

P(A∩B) = (1/30) * (1/32) = 1/960 = .00104

ตัวอย่างที่ 2: คุณทอยลูกเต๋าและพลิกเหรียญในเวลาเดียวกัน ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าตกลงบนเลข 4 และเหรียญตกลงบนก้อยเป็นเท่าไหร่?

วิธีแก้ไข: ในตัวอย่างนี้ ความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจะเป็นอิสระจากกัน ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นทั้งสองอย่างจึงคำนวณได้ดังนี้

P(A∩B) = (1/6) * (1/2) = 1/12 = 0.083333

ตัวอย่างของ P(A∩B) สำหรับเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงวิธีคำนวณ P(A∩B) เมื่อ A และ B เป็นเหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกัน

ตัวอย่างที่ 1: โกศประกอบด้วยลูกบอลสีแดง 4 ลูกและลูกบอลสีเขียว 4 ลูก คุณสุ่มเลือกลูกบอลจากโกศ จากนั้น คุณจะเลือกลูกอื่นโดยไม่ต้องเปลี่ยน ความน่าจะเป็นที่คุณจะเลือกลูกบอลสีแดงทุกครั้งคือเท่าไร?

วิธีแก้ไข: ในตัวอย่างนี้ สีของลูกบอลที่คุณเลือกในครั้งแรกจะส่งผลต่อความน่าจะเป็นในการเลือกลูกบอลสีแดงในครั้งที่สอง ทั้งสองเหตุการณ์จึงขึ้นอยู่กับ

ให้เรานิยามเหตุการณ์ A ว่าเป็นความน่าจะเป็นในการเลือกลูกบอลสีแดงในครั้งแรก ความน่าจะเป็นนี้คือ P(A) = 4/8 ต่อไป เราต้องหาความน่าจะเป็นที่จะเลือกลูกบอลสีแดงอีกครั้ง โดยพิจารณา ว่าลูกบอลลูกแรกเป็นสีแดง ในกรณีนี้ เหลือลูกบอลสีแดงให้เลือกเพียง 3 ลูก และในโกศมีทั้งหมด 7 ลูก ดังนั้น P(B|A) คือ 3/7

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เราเลือกลูกบอลสีแดงในแต่ละครั้งจะคำนวณได้ดังนี้

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (4/8) * (3/7) = 0.214

ตัวอย่างที่ 2: ในชั้นเรียนหนึ่งๆ มีเด็กผู้ชาย 15 คน และเด็กผู้หญิง 12 คน สมมติว่าเราใส่ชื่อของนักเรียนแต่ละคนไว้ในกระเป๋า เราสุ่มเลือกชื่อจากกระเป๋า จากนั้นเราเลือกชื่ออื่นโดยไม่มีการแทนที่ ความน่าจะเป็นที่ทั้งสองชื่อเป็นเด็กผู้ชายเป็นเท่าไร?

วิธีแก้ไข: ในตัวอย่างนี้ ชื่อที่เราเลือกในครั้งแรกจะส่งผลต่อความน่าจะเป็นในการเลือกชื่อของเด็กชายในรูปที่สอง ทั้งสองเหตุการณ์จึงขึ้นอยู่กับ

ให้เรานิยามเหตุการณ์ A ว่าเป็นความน่าจะเป็นในการเลือกเด็กผู้ชายเป็นครั้งแรก ความน่าจะเป็นนี้คือ P(A) = 15/27 ต่อไป เราต้องหาความน่าจะเป็นที่จะเลือกเด็กผู้ชายอีกครั้ง โดย ที่ชื่อแรกคือเด็กผู้ชาย ในกรณีนี้เหลือเด็กชายให้เลือกเพียง 14 คนและมีเพียง 26 ชื่อในกระเป๋าเท่านั้น ดังนั้น P(B|A) คือ 14/26

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เราเลือกชื่อเด็กชายในแต่ละครั้งจะคำนวณได้ดังนี้

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (15/27) * (14/26) = 0.299