ความไม่สมมาตร (สถิติ)

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 5, 2023 สถิติ 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะอธิบายว่าความเบ้หมายถึงอะไรในสถิติ ดังนั้น คุณจะพบคำจำกัดความของความไม่สมมาตรในสถิติ ความไม่สมมาตรประเภทต่างๆ คืออะไร วิธีคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตร และวิธีตีความ

ความไม่สมมาตรในสถิติคืออะไร?

ในสถิติ ความเบ้ คือการวัดที่ระบุระดับความสมมาตร (หรือความไม่สมมาตร) ของการแจกแจงที่สัมพันธ์กับค่าเฉลี่ย พูดง่ายๆ ก็คือ ความเบ้เป็นพารามิเตอร์ทางสถิติที่ใช้ในการกำหนดระดับความสมมาตร (หรือความไม่สมมาตร) ของการแจกแจงโดยไม่จำเป็นต้องแสดงเป็นภาพกราฟิก

ดังนั้นการแจกแจงแบบเบ้คือค่าที่มีค่าทางด้านซ้ายของค่าเฉลี่ยที่แตกต่างจากค่าทางด้านขวา ในทางกลับกันในการแจกแจงแบบสมมาตรจะมีค่าทางซ้ายและขวาของค่าเฉลี่ยเท่ากัน

ตัวอย่างเช่น การแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเป็นแบบไม่สมมาตร และการแจกแจงแบบปกติเป็นแบบสมมาตร

ประเภทของความไม่สมดุล

ในทางสถิติ ความไม่สมมาตรมีสามประเภท :

ความไม่สมดุลเชิงบวก : การแจกแจงมีค่าที่แตกต่างกันไปทางขวาของค่าเฉลี่ยมากกว่าทางซ้าย
สมมาตร : การแจกแจงมีจำนวนค่าทางซ้ายของค่าเฉลี่ยเท่ากับค่าทางขวาของค่าเฉลี่ย
ความเบ้เชิงลบ : การแจกแจงมีค่าที่แตกต่างกันทางด้านซ้ายของค่าเฉลี่ยมากกว่าทางด้านขวา

ค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตร

ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ หรือ ดัชนีความไม่สมมาตร เป็นค่าสัมประสิทธิ์ทางสถิติที่ช่วยระบุความไม่สมมาตรของการแจกแจง ดังนั้น ด้วยการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตร คุณสามารถทราบประเภทของความไม่สมมาตรของการแจกแจงได้โดยไม่ต้องแสดงค่าเป็นกราฟิก

แม้ว่าจะมีสูตรที่แตกต่างกันในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตร และเราจะดูด้านล่างทั้งหมดโดยไม่คำนึงถึงสูตรที่ใช้ การตีความค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรจะทำดังนี้:

หากค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้เป็นบวก การกระจายตัว จะเบ้ในเชิงบวก
หากค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้เป็นศูนย์ การกระจายจะเป็น แบบสมมาตร
หากค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้เป็นลบ การกระจายตัว จะเบ้ในเชิงลบ

สัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของฟิชเชอร์

ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของฟิชเชอร์เท่ากับโมเมนต์ที่สามเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยหารด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง ดังนั้น สูตรสำหรับสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของฟิชเชอร์ คือ:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

ในทำนองเดียวกัน สามารถใช้สูตรใดสูตรหนึ่งจากสองสูตรต่อไปนี้ในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ฟิชเชอร์ได้:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

ทอง

$E$

เป็นความหวังทางคณิตศาสตร์

$\mu$

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

$\sigma$

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและ

$N$

จำนวนข้อมูลทั้งหมด

ในทางกลับกัน หากข้อมูลถูกจัดกลุ่ม คุณสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

ในกรณีนี้.

$x_i$

มันเป็นเครื่องหมายของชั้นเรียนและ

$f_i$

ความถี่สัมบูรณ์ของหลักสูตร

สัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของเพียร์สัน

ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของเพียร์สันเท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยตัวอย่างและโหมดหารด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (หรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน) สูตรสำหรับสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของเพียร์สัน จึงเป็นดังนี้:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

ทอง

$A_p$

คือสัมประสิทธิ์เพียร์สัน

$\mu$

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

$Mo$

แฟชั่นและ

$\sigma$

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

โปรดทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของเพียร์สันสามารถคำนวณได้เฉพาะในกรณีที่เป็นการแจกแจงแบบ Unimodal เท่านั้น กล่าวคือ หากมีโหมดเดียวในข้อมูล

ผู้เขียนบางคนใช้ค่ามัธยฐานแทนโหมดในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของเพียร์สัน แต่โดยทั่วไปจะใช้สูตรข้างต้น

➤ ดู: ความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และโหมด

สัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของโบว์ลีย์

ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ของ Bowley เท่ากับผลรวมของควอร์ไทล์ที่สามบวกควอร์ไทล์ที่ 1 ลบด้วยค่ามัธยฐาน 2 เท่าหารด้วยผลต่างระหว่างควอร์ไทล์ที่ 3 และควอไทล์ที่ 1 สูตรสำหรับสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรนี้จึงเป็นดังนี้:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

ทอง

$Q_1$

และ

$Q_3$

เหล่านี้คือควอไทล์ที่หนึ่งและสามตามลำดับและ

$Me$

คือค่ามัธยฐานของการกระจายตัว

จำไว้ว่าค่ามัธยฐานของการแจกแจงตรงกับควอร์ไทล์ที่ 2

➤ ดู: เครื่องคิดเลขควอไทล์

ความไม่สมมาตรใช้ในสถิติคืออะไร?

เพื่อให้เข้าใจความหมายของความไม่สมมาตรในสถิติอย่างถ่องแท้ มาดูกันว่าคุณลักษณะของการแจกแจงนี้คำนวณอย่างไร

ความเบ้ใช้เพื่อทราบรูปร่างของการแจกแจงความน่าจะเป็นเป็นหลัก เนื่องจากโดยการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้ คุณจะทราบได้ว่าเป็นการแจกแจงแบบไม่สมมาตรเชิงลบ บวกไม่สมมาตร หรือการแจกแจงแบบสมมาตรโดยไม่ต้องแสดงกราฟิก

นอกจากนี้ ความเบ้พร้อมกับความโด่งใช้เพื่อพิจารณาว่าชุดข้อมูลสามารถประมาณค่าการแจกแจงแบบปกติได้หรือไม่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้และค่าสัมประสิทธิ์ความโด่งถูกคำนวณเพื่อตรวจสอบว่าชุดข้อมูลเป็นไปตามสมมติฐานของการแจกแจงแบบปกติหรือไม่ และหากเป็นเช่นนั้น สิ่งนี้จะพิสูจน์ได้ว่ามีประโยชน์มาก เพราะมันบอกเป็นนัยว่าสามารถใช้ทฤษฎีบททางสถิติหลายทฤษฎีได้

➤ ดู: สอพลอ

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม