ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ย

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 3, 2023 สถิติ 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะอธิบายว่าช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ยในสถิติคืออะไร และใช้เพื่ออะไร ในทำนองเดียวกัน คุณจะได้ค้นพบวิธีการคำนวณช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ยตลอดจนแบบฝึกหัดทีละขั้นตอน

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ยคืออะไร?

ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ย คือช่วงที่ให้ช่วงของค่าที่อนุญาตสำหรับค่าเฉลี่ยของประชากร กล่าวอีกนัยหนึ่ง ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ยทำให้เราได้ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดซึ่งระหว่างค่าดังกล่าวจะเชื่อมโยงค่าของค่าเฉลี่ยประชากรกับส่วนต่างของค่าคลาดเคลื่อน

ตัวอย่างเช่น หากช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ยประชากรคือ (6.10) นั่นหมายความว่า 95% ของเวลาที่ค่าเฉลี่ยประชากรจะอยู่ระหว่าง 6 ถึง 10

ดังนั้นช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ยจึงใช้ในการประมาณค่าสองค่าระหว่างค่าเฉลี่ยประชากรที่อยู่ ดังนั้นช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ยจึงมีประโยชน์มากในการประมาณค่าเฉลี่ยของประชากรเมื่อไม่ทราบค่าทั้งหมด

สูตรช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ย

สมมติว่ากระบวนการ ป้อนตัวแปร จะเป็นดังนี้:

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ยคำนวณโดยการบวกและลบออกจากค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ค่าของ Z _α/2 คูณด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (σ) และหารด้วยรากที่สองของขนาดของตัวอย่าง (n) ดังนั้นสูตรในการคำนวณช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ยคือ:

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

สำหรับขนาดตัวอย่างขนาดใหญ่และระดับความเชื่อมั่น 95% ค่าวิกฤตคือ Z _α/2 = 1.96 และสำหรับระดับความเชื่อมั่น 99% ค่าวิกฤติคือ Z _α/2 = 2.576

สูตรข้างต้นจะใช้เมื่อทราบความแปรปรวนของประชากร อย่างไรก็ตาม หากไม่ทราบความแปรปรวนของประชากร ซึ่งมักเป็นกรณี นี้ ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ยจะคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

ทอง:

$\overline{x}$

คือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง
$t_{\alpha/2}$

คือค่าของการแจกแจง t ของดีกรีอิสระ n-1 ที่มีความน่าจะเป็น α/2
$s$

คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
$n$

คือขนาดตัวอย่าง

ตัวอย่างการคำนวณช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ย

เพื่อให้คุณเห็นว่าช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ยของประชากรคำนวณอย่างไร เราจึงฝากตัวอย่างไว้ด้านล่างนี้เพื่อแก้ไขทีละขั้นตอน

เรามีตัวอย่างการสังเกต 8 รายการด้วยค่าที่แสดงด้านล่าง ช่วงความเชื่อมั่นของประชากรเฉลี่ยที่ระดับความเชื่อมั่น 95% เป็นเท่าใด

206 203 201 212
194 176 208 201

ดังที่เราเห็นไปแล้วในหัวข้อที่แล้ว สูตรการหาช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ยประชากรเมื่อเราไม่ทราบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรมีดังนี้

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

ดังนั้น เพื่อกำหนดช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย เราต้องคำนวณค่าเฉลี่ยตัวอย่างและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก่อน

$\begin{array}{c}\mu =200,13 \\[4ex]s=11,13\end{array}$

➤ ดู: เครื่องคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต
➤ ดู: เครื่องคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เนื่องจากเราต้องการค้นหาช่วงความเชื่อมั่นด้วยระดับความเชื่อมั่น 1-α=95% และขนาดตัวอย่างคือ 8 เราจึงต้องเข้าถึงตารางการแจกแจง t ของนักเรียน และดูว่าค่าใดสอดคล้องกับ t _0.025|7

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n-1}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025| 7}=2,365\end{array}$

➤ ดู: ค่าของตารางการแจกแจงของนักเรียน

ดังนั้นเราจึงใช้สูตรช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ยและทำการคำนวณเพื่อค้นหาขีดจำกัดของช่วง:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

$\displaystyle \left(200,13-2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \ , \ 200,13+2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \right)$

$\displaystyle \left(190,82 \ , \ 209,43 \right)$

โดยสรุป ช่วงความเชื่อมั่นที่คำนวณได้บอกเราว่าที่ระดับความเชื่อมั่น 95% ค่าเฉลี่ยประชากรจะอยู่ระหว่าง 190.82 ถึง 209.43

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ยคืออะไร?

สูตรช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ย

ตัวอย่างการคำนวณช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ย

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

เพิ่มความคิดเห็น