4 ตัวอย่างที่แท้จริงของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

การแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล คือการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ใช้จำลองเวลาที่เราต้องรอจนกว่าเหตุการณ์บางอย่างจะเกิดขึ้น

หาก ตัวแปรสุ่ม X ตามหลังการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล ฟังก์ชันความหนาแน่นสะสมของ X ก็สามารถเขียนได้:

F (x; แลมบ์ดา) = 1 – อี – ^แลมx

ทอง:

• แล: พารามิเตอร์อัตรา (คำนวณเป็น แล = 1/μ)
• e: ค่าคงที่ประมาณเท่ากับ 2.718

ในบทความนี้ เราจะแบ่งปัน 5 ตัวอย่างของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลในชีวิตจริง

ตัวอย่างที่ 1: เวลาระหว่างการปะทุของไกเซอร์

จำนวนนาทีระหว่างการปะทุของไกเซอร์บางแห่งสามารถจำลองได้ด้วยการกระจายแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

ตัวอย่างเช่น สมมติว่า จำนวนนาทีโดยเฉลี่ยระหว่างการปะทุของไกเซอร์แห่งใดแห่งหนึ่งคือ 40 นาที หากไกเซอร์ปะทุ ความน่าจะเป็นที่เราต้องรอไม่ถึง 50 นาทีจึงจะปะทุครั้งถัดไปเป็นเท่าใด

เพื่อแก้ไขปัญหานี้ เราต้องคำนวณพารามิเตอร์อัตราก่อน:

• แล = 1/ไมโคร
• แล = 1/40
• แล = 0.025

เราสามารถแทนค่า แล = 0.025 และ x = 50 ลงในสูตร CDF ได้:

• P(X ≤ x) = 1 – อี ^{– แลมx}
• P(X ≤ 50) = 1 – อี ^-0.025(50)
• พี(X ≤ 50) = 0.7135

ความน่าจะเป็นที่เราจะต้องรอไม่ถึง 50 นาที การปะทุครั้งต่อไปคือ 0.7135 .

ตัวอย่างที่ 2: เวลาระหว่างลูกค้า

จำนวนนาทีระหว่างลูกค้าที่เข้าสู่ร้านค้าบางแห่งสามารถจำลองได้ด้วยการกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียล

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าลูกค้าใหม่เข้าร้านโดยเฉลี่ยทุกๆ สองนาที หลังจากที่ลูกค้ามาถึงแล้ว ให้พิจารณาความน่าจะเป็นที่ลูกค้าใหม่จะมาถึงภายในเวลาไม่ถึงนาที

เพื่อแก้ไขปัญหานี้ เราสามารถเริ่มต้นด้วยการรู้ว่าเวลาเฉลี่ยระหว่างลูกค้าคือสองนาที ดังนั้นจึงสามารถคำนวณอัตราได้ดังนี้

• แล = 1/ไมโคร
• แล = 1/2
• แล = 0.5

เราสามารถแทนค่า แล = 0.5 และ x = 1 ลงในสูตร CDF ได้:

• P(X ≤ x) = 1 – อี ^{– แลมx}
• P(X ≤ 1) = 1 – อี ^-0.5(1)
• P(X ≤ 1) = 0.3935

ความน่าจะเป็นที่เราจะต้องรอไม่ถึงหนึ่งนาทีกว่าลูกค้ารายต่อไปจะมาถึงคือ 0.3935

ตัวอย่างที่ 3: เวลาระหว่างแผ่นดินไหว  

สามารถจำลองเวลาระหว่างการเกิดแผ่นดินไหวได้โดยใช้การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าแผ่นดินไหวเกิดขึ้นโดยเฉลี่ยทุกๆ 400 วันในบางภูมิภาค หลังแผ่นดินไหว ให้กำหนดความน่าจะเป็นที่จะเกิดแผ่นดินไหวครั้งต่อไปมากกว่า 500 วัน

เพื่อแก้ไขปัญหานี้ เราเริ่มต้นด้วยการรู้ว่าเวลาเฉลี่ยระหว่างแผ่นดินไหวคือ 400 วัน ดังนั้นจึงสามารถคำนวณอัตราได้ดังนี้

• แล = 1/ไมโคร
• แล = 1/400
• แล = 0.0025

เราสามารถแทนค่า γ = 0.0025 และ x = 500 ลงในสูตร CDF ได้:

• P(X ≤ x) = 1 – อี ^{– แลมx}
• P(X ≤ 1) = 1 – อี ^-0.0025(500)
• พี(X ≤ 1) = 0.7135

ความน่าจะเป็นที่เราจะต้องรอน้อยกว่า 500 วันจึงจะเกิดแผ่นดินไหวครั้งต่อไปคือ 0.7135

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เราต้องรอให้เกิดแผ่นดินไหวครั้งต่อ ไปเกิน 500 วัน คือ 1 – 0.7135 = 0.2865

ตัวอย่างที่ 4: เวลาระหว่างการโทร

เวลาระหว่างการโทรของลูกค้าที่บริษัทต่างๆ สามารถจำลองได้โดยใช้การกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียล

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าธนาคารได้รับสายใหม่โดยเฉลี่ยทุกๆ 10 นาที หลังจากที่ลูกค้าโทรมา ให้กำหนดแนวโน้มที่ลูกค้าใหม่จะโทรภายใน 10 ถึง 15 นาที

เพื่อแก้ปัญหานี้ เราเริ่มต้นด้วยการรู้ว่าเวลาเฉลี่ยระหว่างการโทรคือ 10 นาที ดังนั้นจึงสามารถคำนวณอัตราได้ดังนี้

• แล = 1/ไมโคร
• แล = 1/10
• แล = 0.1

เราสามารถใช้สูตรต่อไปนี้เพื่อคำนวณความน่าจะเป็นที่ลูกค้าใหม่จะโทรมาภายใน 10-15 นาที:

• P(10 < X ≤ 15) = (1 – อี ^-0.1(15) ) – (1 – อี ^-0.1(10) )
• P(10 < X ≤ 15) = 0.7769 – 0.6321
• ป(10 < X ≤ 15) = 0.1448

โอกาสที่ลูกค้าใหม่จะโทรมาภายใน 10-15 นาที คือ 0.1448 .

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

บทความต่อไปนี้เป็นตัวอย่างวิธีการใช้การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบอื่นๆ ในโลกแห่งความเป็นจริง:

6 ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของการแจกแจงแบบปกติ
5 ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของการแจกแจงแบบทวินาม
5 ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของการแจกแจงแบบปัวซอง
5 ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของการกระจายทางเรขาคณิต
5 ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของการกระจายแบบสม่ำเสมอ