วิธีคำนวณผลรวมของกำลังสองใน anova (พร้อมตัวอย่าง)

ในสถิติ การวิเคราะห์ ความแปรปรวนแบบทางเดียว ใช้เพื่อเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยของกลุ่มอิสระตั้งแต่ 3 กลุ่มขึ้นไป เพื่อพิจารณาว่ามีความแตกต่างที่มีนัยสำคัญทางสถิติระหว่างค่าเฉลี่ยของประชากรที่เกี่ยวข้องหรือไม่

เมื่อใดก็ตามที่คุณทำการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบทางเดียว คุณจะคำนวณผลรวมของค่ากำลังสองสามค่าเสมอ:

1. ผลรวมของการถดถอยกำลังสอง (SSR)

• มันคือผลรวมของกำลังสองของความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของแต่ละกลุ่มและ ค่าเฉลี่ยทั่วไป

2. ผลรวมของข้อผิดพลาดกำลังสอง (SSE)

• นี่คือผลรวมของกำลังสองของความแตกต่างระหว่างการสังเกตแต่ละครั้งและค่าเฉลี่ยกลุ่มของการสังเกตนั้น

3. ผลรวมของกำลังสองทั้งหมด (SST)

• นี่คือผลรวมของกำลังสองของความแตกต่างระหว่างการสังเกตแต่ละครั้งและค่าเฉลี่ยโดยรวม

แต่ละค่าทั้งสามนี้วางอยู่ในตาราง ANOVA สุดท้าย ซึ่งเราใช้พิจารณาว่ามีความแตกต่างที่มีนัยสำคัญทางสถิติระหว่างค่าเฉลี่ยกลุ่มหรือไม่

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงวิธีคำนวณผลรวมของค่ากำลังสองเหล่านี้แต่ละค่าสำหรับการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบทางเดียวในทางปฏิบัติ

ตัวอย่าง: วิธีคำนวณผลรวมของกำลังสองใน ANOVA

สมมติว่าเราต้องการทราบว่าโปรแกรมเตรียมสอบสามโปรแกรมที่แตกต่างกันนำไปสู่คะแนนเฉลี่ยที่แตกต่างกันในการสอบที่กำหนดหรือไม่ เพื่อทดสอบสิ่งนี้ เรารับสมัครนักเรียน 30 คนเพื่อเข้าร่วมในการศึกษาและแบ่งออกเป็นสามกลุ่ม

นักเรียนในแต่ละกลุ่มจะได้รับการสุ่มให้ใช้โปรแกรมเตรียมสอบหนึ่งในสามโปรแกรมสำหรับสามสัปดาห์ต่อจากนี้เพื่อเตรียมตัวสอบ เมื่อสิ้นสุดสามสัปดาห์ นักเรียนทุกคนจะสอบแบบเดียวกัน

ผลการสอบของแต่ละกลุ่มมีดังต่อไปนี้:

ขั้นตอนต่อไปนี้แสดงวิธีคำนวณผลรวมของค่ากำลังสองสำหรับการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบทางเดียวนี้

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณค่าเฉลี่ยกลุ่มและค่าเฉลี่ยโดยรวม

ขั้นแรก เราจะคำนวณค่าเฉลี่ยของทั้งสามกลุ่มตลอดจนค่าเฉลี่ยโดยรวม (หรือ “โดยรวม”):

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณ SSR

ต่อไป เราจะคำนวณผลรวมของการถดถอยกำลังสอง (SSR) โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

นΣ(X _เจ – X ..) ²

ทอง:

• n : ขนาดของกลุ่มตัวอย่าง j
• Σ : สัญลักษณ์กรีกหมายถึง “ผลรวม”
• X _j : ค่าเฉลี่ยของกลุ่ม j
• X .. : ค่าเฉลี่ยโดยรวม

ในตัวอย่างของเรา เราคำนวณว่า SSR = 10(83.4-85.8) ² + 10(89.3-85.8) ² + 10(84.7-85.8) ² = 192.2

ขั้นตอนที่ 3: คำนวณ SES

ต่อไป เราจะคำนวณผลรวมของข้อผิดพลาดกำลังสอง (SSE) โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

Σ(X _ij – X _j ) ²

ทอง:

• Σ : สัญลักษณ์กรีกหมายถึง “ผลรวม”
• X _ij : การสังเกต ^{ครั้งที่ 3} ของกลุ่ม j
• X _j : ค่าเฉลี่ยของกลุ่ม j

ในตัวอย่างของเรา เราคำนวณ SSE ดังต่อไปนี้:

กลุ่ม 1: (85-83.4) ² + (86-83.4) ² +   (88-83.4) ² +   (75-83.4) ² +   (78-83.4) ² +   (94-83.4) ² +   (98-83.4) ² +   (79-83.4) ² +   (71-83.4) ² +   (80-83.4) ² = 640.4

กลุ่มที่ 2: (91-89.3) ² + (92-89.3) ² +   (93-89.3) ² +   (85-89.3) ² +   (87-89.3) ² +   (84-89.3) ² +   (82-89.3) ² +   (88-89.3) ² +   (95-89.3) ² +   (96-89.3) ² = 208.1

กลุ่ม 3: (79-84.7) ² + (78-84.7) ² +   (88-84.7) ² +   (94-84.7) ² +   (92-84.7) ² +   (85-84.7) ² +   (83-84.7) ² +   (85-84.7) ² +   (82-84.7) ² +   (81-84.7) ² = 252.1

เอสเอส: 640.4 + 208.1 + 252.1 = 1,100.6

ขั้นตอนที่ 4: คำนวณ SST

ต่อไป เราจะคำนวณผลรวมของกำลังสอง (SST) โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

SST = สสส + SSE

ในตัวอย่างของเรา SST = 192.2 + 1100.6 = 1292.8

เมื่อเราคำนวณค่าของ SSR, SSE และ SST แล้ว แต่ละค่าเหล่านี้จะถูกวางไว้ในตาราง ANOVA ในที่สุด:

นี่คือวิธีที่เราคำนวณตัวเลขต่างๆ ในตาราง:

• การถดถอย df: k-1 = 3-1 = 2
• ข้อผิดพลาด df: nk = 30-3 = 27
• รวม df: n-1 = 30-1 = 29
• การรักษา SEP: การรักษา SST/df = 192.2 / 2 = 96.1
• ข้อผิดพลาด MS: ข้อผิดพลาด SSE / df = 1100.6 / 27 = 40.8
• ค่า F: การประมวลผล MS / ข้อผิดพลาด MS = 96.1 / 40.8 = 2.358
• p-value : p-value ซึ่งสอดคล้องกับค่า F

หมายเหตุ: n = จำนวนการสังเกตทั้งหมด, k = จำนวนกลุ่ม

ดู บทช่วยสอนนี้ เพื่อเรียนรู้วิธีตีความค่า F และค่า p ในตาราง ANOVA