สัจพจน์ของความน่าจะเป็น

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 1, 2023 ไม่มีหมวดหมู่ 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะอธิบายว่าสัจพจน์ของความน่าจะเป็นคืออะไร ดังนั้น คุณจะพบคำจำกัดความตามสัจพจน์ของความน่าจะเป็น อะไรคือสัจพจน์ของความน่าจะเป็นที่แตกต่างกัน และตัวอย่างการประยุกต์ใช้

สัจพจน์ของความน่าจะเป็น 3 ประการคืออะไร?

สัจพจน์ของความน่าจะเป็น คือ:

ความน่าจะเป็นสัจพจน์ 1 : ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ไม่สามารถเป็นลบได้
ความน่าจะเป็นสัจพจน์ 2 : ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างคือ 1
ความน่าจะเป็น สัจพจน์ 3 : ความน่าจะเป็นของชุดเหตุการณ์พิเศษจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมด

สัจพจน์แห่งความน่าจะเป็นทั้งสามนี้เรียกอีกอย่างว่า สัจพจน์โคลโมโกรอฟ เนื่องจากถูกกำหนดโดยนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียคนนี้ในปี 1933.

สัจพจน์ความน่าจะเป็นแต่ละประเภทมีการอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง

สัจพจน์ 1

สัจพจน์แรกของความน่าจะ เป็นบอกว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นไม่สามารถเป็นลบได้ ดังนั้นค่าของเหตุการณ์จึงอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1

$0\leq P(A)\leq 1$

หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เป็นศูนย์ หมายความว่าเป็นไปไม่ได้ที่เหตุการณ์นั้นจะเกิดขึ้น ในทางกลับกัน ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เป็น 1 หมายความว่าเหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน ดังนั้น ยิ่งค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สูงเท่าใด โอกาสที่จะเกิดขึ้นก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

สัจพจน์ 2

สัจพจน์ที่สองของความน่าจะ เป็นระบุว่าความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นจะเท่ากับ 1

$P(\Omega)=1$

เหตุการณ์บางอย่างเป็นผลมาจากประสบการณ์สุ่มที่จะเกิดขึ้นเสมอ ดังนั้น เหตุการณ์ที่ปลอดภัยจึงสามารถกำหนดเป็นพื้นที่ตัวอย่างของการทดลองแบบสุ่มได้

➤ ดู: เหตุการณ์ที่ปลอดภัย

สัจพจน์ 3

สัจพจน์ที่สามของความน่าจะ เป็นระบุว่า เมื่อพิจารณาจากชุดของเหตุการณ์พิเศษ ความน่าจะเป็นร่วมของเหตุการณ์ทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้นทั้งหมด

$A\cap B= \varnothing \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

สองเหตุการณ์ขึ้นไปเป็นเหตุการณ์พิเศษเมื่อไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ดังนั้นใน การคำนวณความน่าจะเป็นร่วม จึงไม่จำเป็นต้องคำนึงถึงความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นพร้อมกัน

➤ โปรดดู: ไม่รวมกิจกรรม

ตัวอย่างสัจพจน์ความน่าจะเป็น

ตามตัวอย่าง ด้านล่างเราจะวิเคราะห์ผลลัพธ์ต่างๆ ของการทดสอบการทอยลูกเต๋า เพื่อให้คุณเห็นว่าสัจพจน์ของความน่าจะเป็นเป็นจริง

เมื่อคุณทอยลูกเต๋า จะมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 6 ประการดังต่อไปนี้:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

ในกรณีนี้ ผลลัพธ์ทั้งหมดมีโอกาสเท่ากัน ดังนั้นเพื่อพิจารณาความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละรายการที่เกิดขึ้น เราเพียงแค่ต้องค้นหาความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ ดังนั้นเราจึงใช้ สูตรกฎลาปลาซ เพื่อคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แต่ละรายการ:

$P(\text{cualquier n\'umero})=\cfrac{1}{6}=0,167$

จากนั้น เนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะได้ผลลัพธ์แต่ละอย่างเป็นบวก สัจพจน์แรกของความน่าจะเป็นจึงเป็นที่พอใจ

ทีนี้ลองตรวจสอบสัจพจน์ที่สองกัน ในกรณีนี้ เหตุการณ์บางอย่าง “ได้รับตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6” ดังนั้นเราจึงเพิ่มความน่าจะเป็นที่จะได้ผลลัพธ์แต่ละรายการ:

$\begin{array}{l}P(\text{n\'umero del 1 al 6})=\\[2ex]=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=\\[2ex]=0,167+0,167+0,167+0,167+0,167+0,167=\\[2ex]=1\end{array}$

ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งจึงเท่ากับ 1 ดังนั้นสัจพจน์ความน่าจะเป็นที่สองจึงเป็นจริงด้วย

สุดท้าย สิ่งที่เหลืออยู่คือการตรวจสอบความจริงข้อที่สามของความน่าจะเป็น ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันที่เราได้จากทอยลูกเต๋านั้นจะไม่เกิดร่วมกัน เนื่องจากเช่น ถ้าเราทอยเลข 2 เราจะไม่สามารถได้เลข 5 อีกต่อไป ดังนั้น การคำนวณเพื่อให้ได้ตัวเลขสองตัวใดๆ สามารถทำได้สองวิธี: การใช้ กฎของลาปลาซ หรือโดยการบวกความน่าจะเป็นของแต่ละผลลัพธ์

$P(2 \text{ o } 5)=\cfrac{2}{6}=0,33$

$P(2 \text{ o } 5)=P(2)+P(5)=0,167+0,167=0,33$

ในทั้งสองกรณี เราได้ค่าความน่าจะเป็นเท่ากัน ดังนั้นสัจพจน์ความน่าจะเป็นข้อที่สามก็เป็นจริงเช่นกัน

คุณสมบัติอนุมานได้จากสัจพจน์ของความน่าจะเป็น

จากสัจพจน์ทั้งสามของความน่าจะเป็น เราสามารถสรุปคุณสมบัติได้ดังต่อไปนี้:

ความน่าจะเป็นของ เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ คือศูนย์

$P(\varnothing)=0$

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ เท่ากับหรือน้อยกว่า 1

$P(A)\leq 1$

$0\leq P(A)\leq 1$

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งๆ เท่ากับ 1 ลบด้วยความน่าจะเป็นของ เหตุการณ์เสริม ของมัน

$P(A)=1-P\left(\overline{A}\right)$

หากมีเหตุการณ์รวมอยู่ในเหตุการณ์อื่น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์แรกจะต้องน้อยกว่าหรือเท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สอง

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ทั้งสองจะรวมกันคือผลรวมของความน่าจะเป็นลบด้วยความน่าจะเป็นที่จุดตัดกัน

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

เมื่อพิจารณาจากชุดของ เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบ สองต่อสอง ความน่าจะเป็นร่วมของเหตุการณ์เหล่านี้จะคำนวณโดยการบวกความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของแต่ละเหตุการณ์

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

หากพื้นที่ตัวอย่างมีจำกัดและเหตุการณ์คือ S={x ₁ ,x ₁ ,…,x _k } ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ดังกล่าวจะเกิดขึ้นจะเทียบเท่ากับนิพจน์ต่อไปนี้:

$P(S)=P(x_1)+P(x_2)+\ldots+P(x_n)$

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม