สัมประสิทธิ์พหุนาม: คำจำกัดความและตัวอย่าง

ค่าสัมประสิทธิ์พหุนาม อธิบายจำนวนพาร์ติชันที่เป็นไปได้ของวัตถุ n รายการออกเป็นกลุ่ม k ขนาด n ₁ , n ₂ , … , n _k

สูตรคำนวณสัมประสิทธิ์พหุนามคือ:

สัมประสิทธิ์พหุนาม = n! / (n ₁ ! * n ₂ ! * … * n _k !)

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงวิธีการคำนวณสัมประสิทธิ์พหุนามในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 1: ตัวอักษรในคำ

มีกี่พาร์ติชั่นของคำว่า ARKANSAS ที่ไม่ซ้ำใคร

วิธีแก้ไข: เราสามารถแทนค่าต่อไปนี้ลงในสูตรสัมประสิทธิ์พหุนามได้:

n (ตัวอักษรทั้งหมด): 8

หมายเลข ₁ (ตัวอักษร “A”): 3

n ₂ (ตัวอักษร “R”): 1

n ₃ (ตัวอักษร “K”): 1

หมายเลข ₄ (ตัวอักษร “N”): 1

n ₅ (ตัวอักษร “S”): 2

สัมประสิทธิ์พหุนาม = 8! / (3! * 1! * 1! * 1! * 2!) = 3.360

มีพาร์ติชั่นที่ไม่ซ้ำกันถึง 3,360 พาร์ติชั่นของคำว่า ARKANSAS

ตัวอย่างที่ 2: นักเรียนต่อปีการศึกษา

นักเรียนกลุ่มละ 6 คน ประกอบด้วยผู้อาวุโส 3 คน รุ่นน้อง 2 คน และนักเรียนปีที่สอง 1 คน มีคะแนนที่ไม่ซ้ำกันกี่คะแนนจากนักเรียนกลุ่มนี้ต่อระดับ?

วิธีแก้ไข: เราสามารถแทนค่าต่อไปนี้ลงในสูตรสัมประสิทธิ์พหุนามได้:

n (จำนวนนักเรียนทั้งหมด): 6

จำนวน ₁ (ผู้อาวุโสทั้งหมด): 3

จำนวน ₂ คน (รุ่นน้องทั้งหมด): 2

n ₃ (รวมนักศึกษาปีที่สองทั้งหมด): 1

สัมประสิทธิ์พหุนาม = 6! / (3! * 2! * 1!) = 60

มีคะแนนที่ไม่ซ้ำกัน 60 คะแนนจากนักเรียนเหล่านี้ต่อระดับ

ตัวอย่างที่ 3: ความชอบของพรรคการเมือง

จากกลุ่มผู้อยู่อาศัย 10 คนในบางเทศมณฑล มี 3 คนเป็นพรรครีพับลิกัน พรรคเดโมแครต 5 คน และที่ปรึกษาอิสระ 2 คน กลุ่มผู้อยู่อาศัยนี้แบ่งตามพรรคการเมืองกี่กลุ่ม

วิธีแก้ไข: เราสามารถแทนค่าต่อไปนี้ลงในสูตรสัมประสิทธิ์พหุนามได้:

n (จำนวนผู้อยู่อาศัยทั้งหมด): 10

n ₁ (รวมพรรครีพับลิกัน): 3

อันดับที่ ₂ (พรรคเดโมแครตทั้งหมด): 5

n ₃ (สมาชิกอิสระทั้งหมด): 2

สัมประสิทธิ์พหุนาม = 10! / (3! * 5! * 2!) = 2.520

มีการแบ่งแยกผู้อยู่อาศัยเหล่านี้ที่ไม่ซ้ำกัน 2,520 รายตามพรรคการเมือง

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

ค่าสัมประสิทธิ์พหุนามใช้เป็นส่วนหนึ่งของสูตรสำหรับ การแจกแจงพหุนาม ซึ่งอธิบายความน่าจะเป็นที่จะได้จำนวนนับเฉพาะสำหรับผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน k รายการ เมื่อแต่ละผลลัพธ์มีความน่าจะเป็นคงที่ที่จะเกิดขึ้น

โบนัส: คุณสามารถใช้เครื่องคำนวณค่าสัมประสิทธิ์พหุนามเพื่อคำนวณค่าสัมประสิทธิ์พหุนามได้อย่างง่ายดาย