สูตรความน่าจะเป็น

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 1, 2023 ความน่าจะเป็น 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะแสดงสูตรความน่าจะเป็น ดังนั้นคุณจะพบสูตรทั้งหมดของทฤษฎีความน่าจะเป็นและตัวอย่างการใช้งานอีกด้วย

สูตรกฎของลาปลาซ

กฎของลาปลาซหรือที่เรียกว่า กฎของลาปลาซ เป็นกฎที่ใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น

กฎของลาปลาซกล่าวว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจะเท่ากับจำนวนกรณีที่เป็นประโยชน์หารด้วยจำนวนกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด ดังนั้น ในการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งๆ จะต้องหารกรณีที่ตรงกับเหตุการณ์นั้นด้วยจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้

ดังนั้น สูตรกฎของลาปลาซ จึงเป็นดังนี้:

$P(A)=\cfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$

➤ ดู: ตัวอย่างกฎลาปลาซ

สูตรสำหรับเหตุการณ์ผกผัน

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งมีค่าเท่ากับ 1 ลบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งบวกกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้ามจะเท่ากับ 1

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่จะทอยเลข 5 คือ 0.167 เนื่องจากเราสามารถระบุความน่าจะเป็นที่จะทอยเลขอื่นได้โดยใช้คุณสมบัติความน่าจะเป็นนี้:

$P(5)=0,167$

$P(1, 2, 3, 4, 6)=1-P(5)=1-0,167=0,833$

สูตรความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข หรือที่เรียกว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข คือการวัดทางสถิติที่บ่งชี้ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นหากมีเหตุการณ์ B เกิดขึ้นอีก นั่นคือ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข P(A|B) หมายถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นหลังจากเหตุการณ์ B เกิดขึ้นแล้ว

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A ที่กำหนดโดยเหตุการณ์ B เท่ากับความน่าจะเป็นของจุดตัดระหว่างเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B หารด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B ดังนั้น สูตรสำหรับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข จึงเป็นดังนี้

$P(A|B)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

➤ ดู: ตัวอย่างความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

สูตรสำหรับการรวมเหตุการณ์

การรวมกันของสองเหตุการณ์ A และ B คือเซตของเหตุการณ์ที่พบใน A ใน B หรือทั้งสองอย่าง การรวมกันของสองเหตุการณ์จะแสดงด้วยสัญลักษณ์ ⋃ ดังนั้นการรวมกันของเหตุการณ์ A และ B จึงเขียนว่า A⋃B

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์สองเหตุการณ์จะรวมกันจะเท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์แรก บวกกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สอง ลบด้วยความน่าจะเป็นที่จุดตัดกันของเหตุการณ์

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สูตรสำหรับความน่าจะเป็นของการรวมกันของสองเหตุการณ์ คือ P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B)

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

อย่างไรก็ตาม หากทั้งสองเหตุการณ์เข้ากันไม่ได้ จุดตัดกันระหว่างสองเหตุการณ์จะเป็นศูนย์ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะรวมเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์เข้าด้วยกันจึงคำนวณโดยการบวกความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของแต่ละเหตุการณ์

$\text{A y B son incompatibles} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P(A\cap B)=0$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

➤ ดู ตัวอย่างการเข้าร่วมกิจกรรม

สูตรจุดตัดของเหตุการณ์

จุดตัดของเหตุการณ์ A และ B เกิดขึ้นจากเหตุการณ์ทั้งหมดที่เป็นของ A และ B ในเวลาเดียวกัน โดยแสดงด้วยสัญลักษณ์ ⋂ ดังนั้น จุดตัดของเหตุการณ์ A และ B จึงเขียนว่า A⋂B

ความน่าจะเป็นที่จุดตัดกันของสองเหตุการณ์จะเท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งที่เกิดขึ้น คูณความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่งที่เกิดขึ้นจากเหตุการณ์แรก

ดังนั้น สูตรความน่าจะเป็นที่จุดตัดของเหตุการณ์สองเหตุการณ์ คือ P(A⋂B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B)

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)$

อย่างไรก็ตาม หากทั้งสองเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกัน หมายความว่าความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าอีกเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นหรือไม่ ดังนั้นสูตรความน่าจะเป็นที่จุดตัดกันของเหตุการณ์อิสระทั้งสองจึงเป็นดังนี้

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

➤ ดู: ตัวอย่างจุดตัดของเหตุการณ์

สูตรผลต่างของเหตุการณ์

ความน่าจะเป็นที่แตกต่างกันระหว่างสองเหตุการณ์หมายถึงความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นโดยไม่มีเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้นในเวลาเดียวกัน

ดังนั้น ความน่าจะเป็นของผลต่างของความสำเร็จ AB จึงเท่ากับความน่าจะเป็นของความสำเร็จ A ลบด้วยความน่าจะเป็นที่จุดตัดระหว่างความสำเร็จ A และความสำเร็จ B ดังนั้น สูตรความน่าจะเป็นของผลต่างของความสำเร็จ จึงเป็นสูตรถัดไป:

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$

สูตรสำหรับทฤษฎีบทความน่าจะเป็นรวม

ทฤษฎีบทความน่าจะเป็นทั้งหมดเป็นกฎที่ทำให้สามารถคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของพื้นที่ตัวอย่างจากความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ทั้งหมดในพื้นที่ตัวอย่างดังกล่าว

ทฤษฎีบทความน่าจะเป็นทั้งหมดบอกว่า เมื่อพิจารณาชุดของเหตุการณ์ {A ₁ , A ₂ ,…, A _n } ซึ่งสร้างพาร์ติชันบนพื้นที่ตัวอย่าง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B จะเท่ากับผลรวมของผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ เหตุการณ์ P(A _i ) ด้วยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข P(B|A _i )

ดังนั้น สูตรสำหรับทฤษฎีบทความน่าจะเป็นรวม คือ:

$\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n P(B|A_i)\cdot P(A_i)$

➤ ดู: ตัวอย่างทฤษฎีบทความน่าจะเป็นทั้งหมด

สูตรทฤษฎีบทของเบย์

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ทฤษฎีบทของเบย์เป็นกฎที่ใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เมื่อทราบข้อมูลเชิงนิรนัยเกี่ยวกับเหตุการณ์นั้น

ทฤษฎีบทของเบย์กล่าวว่า เมื่อพิจารณาจากสเปซตัวอย่างที่เกิดจากชุดของเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน {A ₁ , A ₂ ,…, A _i ,…, A _n } ซึ่งความน่าจะเป็นไม่เป็นศูนย์และเหตุการณ์ B อีกเหตุการณ์หนึ่ง เราสามารถเชื่อมโยงเงื่อนไขทางคณิตศาสตร์ได้ ความน่าจะเป็นของ A _i เมื่อได้รับเหตุการณ์ B ด้วยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของ B เมื่อให้ A _i

ดังนั้น สูตรสำหรับทฤษฎีบทของเบย์ จึงเป็นดังนี้:

$P(A_i|B)=\cfrac{P(B|A_i)\cdot P(A_i)}{\displaystyle \sum_{k=1}^n P(B|A_k)\cdot P(A_k)}$

➤ ดู: ตัวอย่างทฤษฎีบทของเบย์

ตารางสรุปสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด

สุดท้ายนี้ เราจะฝากตารางที่มีสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมดไว้ให้คุณเป็นข้อมูลสรุป

➤ ดูที่: สูตรทางสถิติ

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม